Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9042 / 9850
↖ ↑ ↗
← S 34.198173°
E 18.676758°		 ← 2 020.78 m → S 34.198173°
E 18.698730°		 →
↑
2 020.56 m
↓
↑
2 020.56 m
↓
S 34.216345°
E 18.676758°		 ← 2 020.34 m →
4 082 671 m²		 S 34.216345°
E 18.698730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551910400390625 y=0.601226806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551910400390625 × 214)
    floor (0.551910400390625 × 16384)
    floor (9042.5)     		tx = 9042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601226806640625 × 214)
    floor (0.601226806640625 × 16384)
    floor (9850.5)     		ty = 9850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9042 / 9850 ti = "14/9042/9850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9042/9850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9042 ÷ 214
    9042 ÷ 16384     		x = 0.5518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9850 ÷ 214
    9850 ÷ 16384     		y = 0.6011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5518798828125 × 2 - 1) × π
    0.103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32597092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6011962890625 × 2 - 1) × π
    -0.202392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.635835036560425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32597092} λ = 0.32597092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.635835036560425))-π/2
    2×atan(0.529493157517054)-π/2
    2×0.486962804056473-π/2
    0.973925608112946-1.57079632675     		φ = -0.59687072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32597092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.676758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59687072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.198173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9042 KachelY 9850 0.32597092 -0.59687072 18.676758 -34.198173
    Oben rechts KachelX + 1 9043 KachelY 9850 0.32635441 -0.59687072 18.698730 -34.198173
    Unten links KachelX 9042 KachelY + 1 9851 0.32597092 -0.59718787 18.676758 -34.216345
    Unten rechts KachelX + 1 9043 KachelY + 1 9851 0.32635441 -0.59718787 18.698730 -34.216345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59687072--0.59718787) × R
    0.000317149999999988 × 6371000     		dl = 2020.56264999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59687072--0.59718787) × R
    0.000317149999999988 × 6371000     		dr = 2020.56264999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32597092-0.32635441) × cos(-0.59687072) × R
    0.000383489999999986 × 0.827098495422906 × 6371000     		do = 2020.77927680392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32597092-0.32635441) × cos(-0.59718787) × R
    0.000383489999999986 × 0.826920197449707 × 6371000     		du = 2020.34365655877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59687072)-sin(-0.59718787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827098495422906-0.826920197449707)×R²
    abs(0.32635441-0.32597092)×0.000178297973199459×R²
    0.000383489999999986×0.000178297973199459×6371000²
    0.000383489999999986×0.000178297973199459×40589641000000     		ar = 4082671.06582647m²