Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9041 / 9843
↖ ↑ ↗
← S 34.070863°
E 18.654785°		 ← 2 023.88 m → S 34.070863°
E 18.676758°		 →
↑
2 023.62 m
↓
↑
2 023.62 m
↓
S 34.089061°
E 18.654785°		 ← 2 023.44 m →
4 095 122 m²		 S 34.089061°
E 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551849365234375 y=0.600799560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551849365234375 × 214)
    floor (0.551849365234375 × 16384)
    floor (9041.5)     		tx = 9041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600799560546875 × 214)
    floor (0.600799560546875 × 16384)
    floor (9843.5)     		ty = 9843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9041 / 9843 ti = "14/9041/9843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9041/9843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9041 ÷ 214
    9041 ÷ 16384     		x = 0.55181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9843 ÷ 214
    9843 ÷ 16384     		y = 0.60076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55181884765625 × 2 - 1) × π
    0.1036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32558742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60076904296875 × 2 - 1) × π
    -0.2015380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.633150570181702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32558742} λ = 0.32558742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.633150570181702))-π/2
    2×atan(0.5309164736636)-π/2
    2×0.488073800133239-π/2
    0.976147600266479-1.57079632675     		φ = -0.59464873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32558742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.654785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59464873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.070863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9041 KachelY 9843 0.32558742 -0.59464873 18.654785 -34.070863
    Oben rechts KachelX + 1 9042 KachelY 9843 0.32597092 -0.59464873 18.676758 -34.070863
    Unten links KachelX 9041 KachelY + 1 9844 0.32558742 -0.59496636 18.654785 -34.089061
    Unten rechts KachelX + 1 9042 KachelY + 1 9844 0.32597092 -0.59496636 18.676758 -34.089061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59464873--0.59496636) × R
    0.000317630000000069 × 6371000     		dl = 2023.62073000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59464873--0.59496636) × R
    0.000317630000000069 × 6371000     		dr = 2023.62073000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32558742-0.32597092) × cos(-0.59464873) × R
    0.000383499999999981 × 0.828345337652859 × 6371000     		do = 2023.87835406237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32558742-0.32597092) × cos(-0.59496636) × R
    0.000383499999999981 × 0.828167353885501 × 6371000     		du = 2023.44349015024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59464873)-sin(-0.59496636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828345337652859-0.828167353885501)×R²
    abs(0.32597092-0.32558742)×0.000177983767358003×R²
    0.000383499999999981×0.000177983767358003×6371000²
    0.000383499999999981×0.000177983767358003×40589641000000     		ar = 4095122.22689537m²