Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9041 / 25811
↖ ↑ ↗
← S 71.367599°
W 80.672608°		 ← 390.31 m → S 71.367599°
W 80.661621°		 →
↑
390.29 m
↓
↑
390.29 m
↓
S 71.371109°
W 80.672608°		 ← 390.24 m →
152 318 m²		 S 71.371109°
W 80.661621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275924682617188 y=0.787704467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275924682617188 × 215)
    floor (0.275924682617188 × 32768)
    floor (9041.5)     		tx = 9041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787704467773438 × 215)
    floor (0.787704467773438 × 32768)
    floor (25811.5)     		ty = 25811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9041 / 25811 ti = "15/9041/25811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9041/25811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9041 ÷ 215
    9041 ÷ 32768     		x = 0.275909423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25811 ÷ 215
    25811 ÷ 32768     		y = 0.787689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.44818115234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40800262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.57537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80760461087308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40800262} λ = -1.40800262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80760461087308))-π/2
    2×atan(0.164046622032333)-π/2
    2×0.162598366768401-π/2
    0.325196733536802-1.57079632675     		φ = -1.24559959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40800262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.672608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24559959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.367599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9041 KachelY 25811 -1.40800262 -1.24559959 -80.672608 -71.367599
    Oben rechts KachelX + 1 9042 KachelY 25811 -1.40781087 -1.24559959 -80.661621 -71.367599
    Unten links KachelX 9041 KachelY + 1 25812 -1.40800262 -1.24566085 -80.672608 -71.371109
    Unten rechts KachelX + 1 9042 KachelY + 1 25812 -1.40781087 -1.24566085 -80.661621 -71.371109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24559959--1.24566085) × R
    6.12599999998409e-05 × 6371000     		dl = 390.287459998986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24559959--1.24566085) × R
    6.12599999998409e-05 × 6371000     		dr = 390.287459998986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40800262--1.40781087) × cos(-1.24559959) × R
    0.000191749999999935 × 0.319495217442913 × 6371000     		do = 390.307897815414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40800262--1.40781087) × cos(-1.24566085) × R
    0.000191749999999935 × 0.319437167609414 × 6371000     		du = 390.236981860356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24559959)-sin(-1.24566085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319495217442913-0.319437167609414)×R²
    abs(-1.40781087--1.40800262)×5.8049833498941e-05×R²
    0.000191749999999935×5.8049833498941e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.8049833498941e-05×40589641000000     		ar = 152318.439299205m²