Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9040 / 25812
↖ ↑ ↗
← S 71.371109°
W 80.683594°		 ← 390.22 m → S 71.371109°
W 80.672608°		 →
↑
390.22 m
↓
↑
390.22 m
↓
S 71.374619°
W 80.683594°		 ← 390.15 m →
152 258 m²		 S 71.374619°
W 80.672608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275894165039062 y=0.787734985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275894165039062 × 215)
    floor (0.275894165039062 × 32768)
    floor (9040.5)     		tx = 9040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787734985351562 × 215)
    floor (0.787734985351562 × 32768)
    floor (25812.5)     		ty = 25812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9040 / 25812 ti = "15/9040/25812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9040/25812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9040 ÷ 215
    9040 ÷ 32768     		x = 0.27587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25812 ÷ 215
    25812 ÷ 32768     		y = 0.7877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27587890625 × 2 - 1) × π
    -0.4482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40819436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.575439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80779635847156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40819436} λ = -1.40819436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80779635847156))-π/2
    2×atan(0.16401516950209)-π/2
    2×0.162567738331023-π/2
    0.325135476662046-1.57079632675     		φ = -1.24566085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40819436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.683594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24566085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.371109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9040 KachelY 25812 -1.40819436 -1.24566085 -80.683594 -71.371109
    Oben rechts KachelX + 1 9041 KachelY 25812 -1.40800262 -1.24566085 -80.672608 -71.371109
    Unten links KachelX 9040 KachelY + 1 25813 -1.40819436 -1.24572210 -80.683594 -71.374619
    Unten rechts KachelX + 1 9041 KachelY + 1 25813 -1.40800262 -1.24572210 -80.672608 -71.374619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24566085--1.24572210) × R
    6.12500000001237e-05 × 6371000     		dl = 390.223750000788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24566085--1.24572210) × R
    6.12500000001237e-05 × 6371000     		dr = 390.223750000788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40819436--1.40800262) × cos(-1.24566085) × R
    0.000191739999999996 × 0.319437167609414 × 6371000     		do = 390.216630518532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40819436--1.40800262) × cos(-1.24572210) × R
    0.000191739999999996 × 0.319379126053405 × 6371000     		du = 390.145728373408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24566085)-sin(-1.24572210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319437167609414-0.319379126053405)×R²
    abs(-1.40800262--1.40819436)×5.80415560088032e-05×R²
    0.000191739999999996×5.80415560088032e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.80415560088032e-05×40589641000000     		ar = 152257.963070778m²