Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9037 / 26325
↖ ↑ ↗
← S 73.089829°
W 80.716553°		 ← 355.34 m → S 73.089829°
W 80.705566°		 →
↑
355.31 m
↓
↑
355.31 m
↓
S 73.093024°
W 80.716553°		 ← 355.28 m →
126 245 m²		 S 73.093024°
W 80.705566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275802612304688 y=0.803390502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275802612304688 × 215)
    floor (0.275802612304688 × 32768)
    floor (9037.5)     		tx = 9037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803390502929688 × 215)
    floor (0.803390502929688 × 32768)
    floor (26325.5)     		ty = 26325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9037 / 26325 ti = "15/9037/26325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9037/26325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9037 ÷ 215
    9037 ÷ 32768     		x = 0.275787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26325 ÷ 215
    26325 ÷ 32768     		y = 0.803375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.44842529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40876961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.60675048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90616287649191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40876961} λ = -1.40876961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90616287649191))-π/2
    2×atan(0.148649680855648)-π/2
    2×0.147569081205844-π/2
    0.295138162411688-1.57079632675     		φ = -1.27565816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40876961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.716553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27565816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.089829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9037 KachelY 26325 -1.40876961 -1.27565816 -80.716553 -73.089829
    Oben rechts KachelX + 1 9038 KachelY 26325 -1.40857786 -1.27565816 -80.705566 -73.089829
    Unten links KachelX 9037 KachelY + 1 26326 -1.40876961 -1.27571393 -80.716553 -73.093024
    Unten rechts KachelX + 1 9038 KachelY + 1 26326 -1.40857786 -1.27571393 -80.705566 -73.093024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27565816--1.27571393) × R
    5.57699999998995e-05 × 6371000     		dl = 355.31066999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27565816--1.27571393) × R
    5.57699999998995e-05 × 6371000     		dr = 355.31066999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40876961--1.40857786) × cos(-1.27565816) × R
    0.000191749999999935 × 0.290872045633456 × 6371000     		do = 355.3407076735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40876961--1.40857786) × cos(-1.27571393) × R
    0.000191749999999935 × 0.290818686566481 × 6371000     		du = 355.27552214294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27565816)-sin(-1.27571393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290872045633456-0.290818686566481)×R²
    abs(-1.40857786--1.40876961)×5.33590669747896e-05×R²
    0.000191749999999935×5.33590669747896e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.33590669747896e-05×40589641000000     		ar = 126244.764397478m²