Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9037 / 11996
↖ ↑ ↗
← S 63.821288°
E 18.566894°		 ← 1 077.91 m → S 63.821288°
E 18.588867°		 →
↑
1 077.72 m
↓
↑
1 077.72 m
↓
S 63.830980°
E 18.566894°		 ← 1 077.54 m →
1 161 480 m²		 S 63.830980°
E 18.588867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551605224609375 y=0.732208251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551605224609375 × 214)
    floor (0.551605224609375 × 16384)
    floor (9037.5)     		tx = 9037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732208251953125 × 214)
    floor (0.732208251953125 × 16384)
    floor (11996.5)     		ty = 11996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9037 / 11996 ti = "14/9037/11996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9037/11996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9037 ÷ 214
    9037 ÷ 16384     		x = 0.55157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11996 ÷ 214
    11996 ÷ 16384     		y = 0.732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55157470703125 × 2 - 1) × π
    0.1031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32405344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.46435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45881572923755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32405344} λ = 0.32405344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45881572923755))-π/2
    2×atan(0.232511468279576)-π/2
    2×0.228452362206389-π/2
    0.456904724412777-1.57079632675     		φ = -1.11389160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32405344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.566894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11389160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.821288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9037 KachelY 11996 0.32405344 -1.11389160 18.566894 -63.821288
    Oben rechts KachelX + 1 9038 KachelY 11996 0.32443694 -1.11389160 18.588867 -63.821288
    Unten links KachelX 9037 KachelY + 1 11997 0.32405344 -1.11406076 18.566894 -63.830980
    Unten rechts KachelX + 1 9038 KachelY + 1 11997 0.32443694 -1.11406076 18.588867 -63.830980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11389160--1.11406076) × R
    0.000169160000000002 × 6371000     		dl = 1077.71836000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11389160--1.11406076) × R
    0.000169160000000002 × 6371000     		dr = 1077.71836000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32405344-0.32443694) × cos(-1.11389160) × R
    0.000383499999999981 × 0.441172457439575 × 6371000     		do = 1077.90718005423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32405344-0.32443694) × cos(-1.11406076) × R
    0.000383499999999981 × 0.441020643164557 × 6371000     		du = 1077.53625550008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11389160)-sin(-1.11406076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441172457439575-0.441020643164557)×R²
    abs(0.32443694-0.32405344)×0.000151814275017981×R²
    0.000383499999999981×0.000151814275017981×6371000²
    0.000383499999999981×0.000151814275017981×40589641000000     		ar = 1161480.48498886m²