Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9036 / 26314
↖ ↑ ↗
← S 73.054642°
W 80.727539°		 ← 356.04 m → S 73.054642°
W 80.716553°		 →
↑
356.01 m
↓
↑
356.01 m
↓
S 73.057843°
W 80.727539°		 ← 355.97 m →
126 743 m²		 S 73.057843°
W 80.716553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275772094726562 y=0.803054809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275772094726562 × 215)
    floor (0.275772094726562 × 32768)
    floor (9036.5)     		tx = 9036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803054809570312 × 215)
    floor (0.803054809570312 × 32768)
    floor (26314.5)     		ty = 26314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9036 / 26314 ti = "15/9036/26314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9036/26314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9036 ÷ 215
    9036 ÷ 32768     		x = 0.2757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26314 ÷ 215
    26314 ÷ 32768     		y = 0.80303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40896135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80303955078125 × 2 - 1) × π
    -0.6060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90405365290863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40896135} λ = -1.40896135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90405365290863))-π/2
    2×atan(0.148963547158899)-π/2
    2×0.147876148001342-π/2
    0.295752296002685-1.57079632675     		φ = -1.27504403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40896135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.727539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27504403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.054642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9036 KachelY 26314 -1.40896135 -1.27504403 -80.727539 -73.054642
    Oben rechts KachelX + 1 9037 KachelY 26314 -1.40876961 -1.27504403 -80.716553 -73.054642
    Unten links KachelX 9036 KachelY + 1 26315 -1.40896135 -1.27509991 -80.727539 -73.057843
    Unten rechts KachelX + 1 9037 KachelY + 1 26315 -1.40876961 -1.27509991 -80.716553 -73.057843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27504403--1.27509991) × R
    5.58799999998971e-05 × 6371000     		dl = 356.011479999345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27504403--1.27509991) × R
    5.58799999998971e-05 × 6371000     		dr = 356.011479999345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40896135--1.40876961) × cos(-1.27504403) × R
    0.000191739999999996 × 0.291459566968593 × 6371000     		do = 356.039877907817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40896135--1.40876961) × cos(-1.27509991) × R
    0.000191739999999996 × 0.291406112647206 × 6371000     		du = 355.974579416304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27504403)-sin(-1.27509991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291459566968593-0.291406112647206)×R²
    abs(-1.40876961--1.40896135)×5.34543213865368e-05×R²
    0.000191739999999996×5.34543213865368e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.34543213865368e-05×40589641000000     		ar = 126742.660399958m²