Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9035 / 26316
↖ ↑ ↗
← S 73.061044°
W 80.738525°		 ← 355.93 m → S 73.061044°
W 80.727539°		 →
↑
355.88 m
↓
↑
355.88 m
↓
S 73.064245°
W 80.738525°		 ← 355.86 m →
126 657 m²		 S 73.064245°
W 80.727539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275741577148438 y=0.803115844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275741577148438 × 215)
    floor (0.275741577148438 × 32768)
    floor (9035.5)     		tx = 9035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803115844726562 × 215)
    floor (0.803115844726562 × 32768)
    floor (26316.5)     		ty = 26316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9035 / 26316 ti = "15/9035/26316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9035/26316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9035 ÷ 215
    9035 ÷ 32768     		x = 0.275726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26316 ÷ 215
    26316 ÷ 32768     		y = 0.8031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275726318359375 × 2 - 1) × π
    -0.44854736328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40915310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.606201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90443714810559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40915310} λ = -1.40915310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90443714810559))-π/2
    2×atan(0.148906431306569)-π/2
    2×0.147820271579205-π/2
    0.295640543158409-1.57079632675     		φ = -1.27515578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40915310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.738525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27515578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.061044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9035 KachelY 26316 -1.40915310 -1.27515578 -80.738525 -73.061044
    Oben rechts KachelX + 1 9036 KachelY 26316 -1.40896135 -1.27515578 -80.727539 -73.061044
    Unten links KachelX 9035 KachelY + 1 26317 -1.40915310 -1.27521164 -80.738525 -73.064245
    Unten rechts KachelX + 1 9036 KachelY + 1 26317 -1.40896135 -1.27521164 -80.727539 -73.064245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27515578--1.27521164) × R
    5.58600000000187e-05 × 6371000     		dl = 355.884060000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27515578--1.27521164) × R
    5.58600000000187e-05 × 6371000     		dr = 355.884060000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40915310--1.40896135) × cos(-1.27515578) × R
    0.000191749999999935 × 0.291352666982039 × 6371000     		do = 355.927853577318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40915310--1.40896135) × cos(-1.27521164) × R
    0.000191749999999935 × 0.291299229973748 × 6371000     		du = 355.862572830586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27515578)-sin(-1.27521164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291352666982039-0.291299229973748)×R²
    abs(-1.40896135--1.40915310)×5.34370082916902e-05×R²
    0.000191749999999935×5.34370082916902e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.34370082916902e-05×40589641000000     		ar = 126657.43344182m²