Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9032 / 4916
↖ ↑ ↗
← N 82.079117°
W130.385742°		 ← 84.18 m → N 82.079117°
W130.380249°		 →
↑
84.16 m
↓
↑
84.16 m
↓
N 82.078360°
W130.385742°		 ← 84.19 m →
7 085 m²		 N 82.078360°
W130.380249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137825012207031 y=0.0750198364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137825012207031 × 216)
    floor (0.137825012207031 × 65536)
    floor (9032.5)     		tx = 9032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0750198364257812 × 216)
    floor (0.0750198364257812 × 65536)
    floor (4916.5)     		ty = 4916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9032 / 4916 ti = "16/9032/4916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9032/4916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9032 ÷ 216
    9032 ÷ 65536     		x = 0.1378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4916 ÷ 216
    4916 ÷ 65536     		y = 0.07501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27566050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07501220703125 × 2 - 1) × π
    0.8499755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.67027705643561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27566050} λ = -2.27566050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67027705643561))-π/2
    2×atan(14.4439704334569)-π/2
    2×1.50167358482387-π/2
    3.00334716964774-1.57079632675     		φ = 1.43255084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27566050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.385742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43255084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.079117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9032 KachelY 4916 -2.27566050 1.43255084 -130.385742 82.079117
    Oben rechts KachelX + 1 9033 KachelY 4916 -2.27556462 1.43255084 -130.380249 82.079117
    Unten links KachelX 9032 KachelY + 1 4917 -2.27566050 1.43253763 -130.385742 82.078360
    Unten rechts KachelX + 1 9033 KachelY + 1 4917 -2.27556462 1.43253763 -130.380249 82.078360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43255084-1.43253763) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dl = 84.1609100006164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43255084-1.43253763) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dr = 84.1609100006164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27566050--2.27556462) × cos(1.43255084) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.13780555371544 × 6371000     		do = 84.178726439241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27566050--2.27556462) × cos(1.43253763) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.137818637670799 × 6371000     		du = 84.1867187927359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43255084)-sin(1.43253763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13780555371544-0.137818637670799)×R²
    abs(-2.27556462--2.27566050)×1.30839553582895e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.30839553582895e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.30839553582895e-05×40589641000000     		ar = 7084.89454152762m²