Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9032 / 11416
↖ ↑ ↗
← N 75.286578°
W130.385742°		 ← 155.15 m → N 75.286578°
W130.380249°		 →
↑
155.13 m
↓
↑
155.13 m
↓
N 75.285183°
W130.385742°		 ← 155.16 m →
24 070 m²		 N 75.285183°
W130.380249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137825012207031 y=0.174201965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137825012207031 × 216)
    floor (0.137825012207031 × 65536)
    floor (9032.5)     		tx = 9032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174201965332031 × 216)
    floor (0.174201965332031 × 65536)
    floor (11416.5)     		ty = 11416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9032 / 11416 ti = "16/9032/11416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9032/11416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9032 ÷ 216
    9032 ÷ 65536     		x = 0.1378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11416 ÷ 216
    11416 ÷ 65536     		y = 0.1741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27566050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1741943359375 × 2 - 1) × π
    0.651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.04709736137488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27566050} λ = -2.27566050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04709736137488))-π/2
    2×atan(7.74538638837222)-π/2
    2×1.44239749927732-π/2
    2.88479499855465-1.57079632675     		φ = 1.31399867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27566050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.385742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31399867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.286578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9032 KachelY 11416 -2.27566050 1.31399867 -130.385742 75.286578
    Oben rechts KachelX + 1 9033 KachelY 11416 -2.27556462 1.31399867 -130.380249 75.286578
    Unten links KachelX 9032 KachelY + 1 11417 -2.27566050 1.31397432 -130.385742 75.285183
    Unten rechts KachelX + 1 9033 KachelY + 1 11417 -2.27556462 1.31397432 -130.380249 75.285183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31399867-1.31397432) × R
    2.43499999998953e-05 × 6371000     		dl = 155.133849999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31399867-1.31397432) × R
    2.43499999998953e-05 × 6371000     		dr = 155.133849999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27566050--2.27556462) × cos(1.31399867) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.253984526621913 × 6371000     		do = 155.146823983993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27566050--2.27556462) × cos(1.31397432) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.254008078068274 × 6371000     		du = 155.161210419859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31399867)-sin(1.31397432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.253984526621913-0.254008078068274)×R²
    abs(-2.27556462--2.27566050)×2.35514463610142e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.35514463610142e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.35514463610142e-05×40589641000000     		ar = 24069.6400326378m²