Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9031 / 25829
↖ ↑ ↗
← S 71.430678°
W 80.782471°		 ← 389.03 m → S 71.430678°
W 80.771484°		 →
↑
388.95 m
↓
↑
388.95 m
↓
S 71.434176°
W 80.782471°		 ← 388.96 m →
151 301 m²		 S 71.434176°
W 80.771484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275619506835938 y=0.788253784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275619506835938 × 215)
    floor (0.275619506835938 × 32768)
    floor (9031.5)     		tx = 9031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788253784179688 × 215)
    floor (0.788253784179688 × 32768)
    floor (25829.5)     		ty = 25829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9031 / 25829 ti = "15/9031/25829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9031/25829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9031 ÷ 215
    9031 ÷ 32768     		x = 0.275604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25829 ÷ 215
    25829 ÷ 32768     		y = 0.788238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.44879150390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40992009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.57647705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81105606764572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40992009} λ = -1.40992009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81105606764572))-π/2
    2×atan(0.163481398191622)-π/2
    2×0.16204790556765-π/2
    0.324095811135299-1.57079632675     		φ = -1.24670052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40992009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.782471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24670052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.430678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9031 KachelY 25829 -1.40992009 -1.24670052 -80.782471 -71.430678
    Oben rechts KachelX + 1 9032 KachelY 25829 -1.40972834 -1.24670052 -80.771484 -71.430678
    Unten links KachelX 9031 KachelY + 1 25830 -1.40992009 -1.24676157 -80.782471 -71.434176
    Unten rechts KachelX + 1 9032 KachelY + 1 25830 -1.40972834 -1.24676157 -80.771484 -71.434176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24670052--1.24676157) × R
    6.10500000000069e-05 × 6371000     		dl = 388.949550000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24670052--1.24676157) × R
    6.10500000000069e-05 × 6371000     		dr = 388.949550000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40992009--1.40972834) × cos(-1.24670052) × R
    0.000191749999999935 × 0.318451796098231 × 6371000     		do = 389.033213346464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40992009--1.40972834) × cos(-1.24676157) × R
    0.000191749999999935 × 0.318393923825457 × 6371000     		du = 388.962514306557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24670052)-sin(-1.24676157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318451796098231-0.318393923825457)×R²
    abs(-1.40972834--1.40992009)×5.78722727735403e-05×R²
    0.000191749999999935×5.78722727735403e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.78722727735403e-05×40589641000000     		ar = 151300.544133171m²