Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9031 / 11399
↖ ↑ ↗
← N 75.310277°
W130.391235°		 ← 154.89 m → N 75.310277°
W130.385742°		 →
↑
154.88 m
↓
↑
154.88 m
↓
N 75.308884°
W130.391235°		 ← 154.90 m →
23 990 m²		 N 75.308884°
W130.385742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137809753417969 y=0.173942565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137809753417969 × 216)
    floor (0.137809753417969 × 65536)
    floor (9031.5)     		tx = 9031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173942565917969 × 216)
    floor (0.173942565917969 × 65536)
    floor (11399.5)     		ty = 11399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9031 / 11399 ti = "16/9031/11399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9031/11399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9031 ÷ 216
    9031 ÷ 65536     		x = 0.137802124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11399 ÷ 216
    11399 ÷ 65536     		y = 0.173934936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137802124023438 × 2 - 1) × π
    -0.724395751953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27575637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173934936523438 × 2 - 1) × π
    0.652130126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.04872721596196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27575637} λ = -2.27575637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04872721596196))-π/2
    2×atan(7.75802053502016)-π/2
    2×1.44260431513691-π/2
    2.88520863027381-1.57079632675     		φ = 1.31441230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27575637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.391235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31441230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.310277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9031 KachelY 11399 -2.27575637 1.31441230 -130.391235 75.310277
    Oben rechts KachelX + 1 9032 KachelY 11399 -2.27566050 1.31441230 -130.385742 75.310277
    Unten links KachelX 9031 KachelY + 1 11400 -2.27575637 1.31438799 -130.391235 75.308884
    Unten rechts KachelX + 1 9032 KachelY + 1 11400 -2.27566050 1.31438799 -130.385742 75.308884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31441230-1.31438799) × R
    2.43100000001384e-05 × 6371000     		dl = 154.879010000882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31441230-1.31438799) × R
    2.43100000001384e-05 × 6371000     		dr = 154.879010000882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27575637--2.27566050) × cos(1.31441230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.253584438544673 × 6371000     		do = 154.8862737254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27575637--2.27566050) × cos(1.31438799) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.253607953854959 × 6371000     		du = 154.90063658933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31441230)-sin(1.31438799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.253584438544673-0.253607953854959)×R²
    abs(-2.27566050--2.27575637)×2.35153102860486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.35153102860486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.35153102860486e-05×40589641000000     		ar = 23989.7449917614m²