Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9030 / 11838
↖ ↑ ↗
← S 62.247466°
E 18.413086°		 ← 1 137.69 m → S 62.247466°
E 18.435059°		 →
↑
1 137.48 m
↓
↑
1 137.48 m
↓
S 62.257696°
E 18.413086°		 ← 1 137.31 m →
1 293 880 m²		 S 62.257696°
E 18.435059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551177978515625 y=0.722564697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551177978515625 × 214)
    floor (0.551177978515625 × 16384)
    floor (9030.5)     		tx = 9030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722564697265625 × 214)
    floor (0.722564697265625 × 16384)
    floor (11838.5)     		ty = 11838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9030 / 11838 ti = "14/9030/11838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9030/11838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9030 ÷ 214
    9030 ÷ 16384     		x = 0.5511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11838 ÷ 214
    11838 ÷ 16384     		y = 0.7225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5511474609375 × 2 - 1) × π
    0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.445068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3982234881178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32136898} λ = 0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3982234881178))-π/2
    2×atan(0.247035435738024)-π/2
    2×0.242186544621627-π/2
    0.484373089243253-1.57079632675     		φ = -1.08642324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08642324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.247466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9030 KachelY 11838 0.32136898 -1.08642324 18.413086 -62.247466
    Oben rechts KachelX + 1 9031 KachelY 11838 0.32175247 -1.08642324 18.435059 -62.247466
    Unten links KachelX 9030 KachelY + 1 11839 0.32136898 -1.08660178 18.413086 -62.257696
    Unten rechts KachelX + 1 9031 KachelY + 1 11839 0.32175247 -1.08660178 18.435059 -62.257696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08642324--1.08660178) × R
    0.00017854000000006 × 6371000     		dl = 1137.47834000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08642324--1.08660178) × R
    0.00017854000000006 × 6371000     		dr = 1137.47834000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32136898-0.32175247) × cos(-1.08642324) × R
    0.000383489999999986 × 0.465653653462541 × 6371000     		do = 1137.69189315717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32136898-0.32175247) × cos(-1.08660178) × R
    0.000383489999999986 × 0.465495644025023 × 6371000     		du = 1137.30584216247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08642324)-sin(-1.08660178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465653653462541-0.465495644025023)×R²
    abs(0.32175247-0.32136898)×0.000158009437518425×R²
    0.000383489999999986×0.000158009437518425×6371000²
    0.000383489999999986×0.000158009437518425×40589641000000     		ar = 1293880.32717517m²