Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9029 / 25825
↖ ↑ ↗
← S 71.416678°
W 80.804444°		 ← 389.32 m → S 71.416678°
W 80.793457°		 →
↑
389.27 m
↓
↑
389.27 m
↓
S 71.420179°
W 80.804444°		 ← 389.25 m →
151 535 m²		 S 71.420179°
W 80.793457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275558471679688 y=0.788131713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275558471679688 × 215)
    floor (0.275558471679688 × 32768)
    floor (9029.5)     		tx = 9029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788131713867188 × 215)
    floor (0.788131713867188 × 32768)
    floor (25825.5)     		ty = 25825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9029 / 25825 ti = "15/9029/25825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9029/25825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9029 ÷ 215
    9029 ÷ 32768     		x = 0.275543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25825 ÷ 215
    25825 ÷ 32768     		y = 0.788116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.44891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41030359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.57623291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8102890772518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41030359} λ = -1.41030359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8102890772518))-π/2
    2×atan(0.163606834951865)-π/2
    2×0.162170074709055-π/2
    0.32434014941811-1.57079632675     		φ = -1.24645618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41030359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.804444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24645618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.416678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9029 KachelY 25825 -1.41030359 -1.24645618 -80.804444 -71.416678
    Oben rechts KachelX + 1 9030 KachelY 25825 -1.41011184 -1.24645618 -80.793457 -71.416678
    Unten links KachelX 9029 KachelY + 1 25826 -1.41030359 -1.24651728 -80.804444 -71.420179
    Unten rechts KachelX + 1 9030 KachelY + 1 25826 -1.41011184 -1.24651728 -80.793457 -71.420179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24645618--1.24651728) × R
    6.10999999999251e-05 × 6371000     		dl = 389.268099999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24645618--1.24651728) × R
    6.10999999999251e-05 × 6371000     		dr = 389.268099999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41030359--1.41011184) × cos(-1.24645618) × R
    0.000191750000000157 × 0.318683406018717 × 6371000     		do = 389.316157116469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41030359--1.41011184) × cos(-1.24651728) × R
    0.000191750000000157 × 0.318625491103537 × 6371000     		du = 389.245405982925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24645618)-sin(-1.24651728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318683406018717-0.318625491103537)×R²
    abs(-1.41011184--1.41030359)×5.79149151797576e-05×R²
    0.000191750000000157×5.79149151797576e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.79149151797576e-05×40589641000000     		ar = 151534.590247251m²