Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9029 / 11837
↖ ↑ ↗
← S 62.237233°
E 18.391113°		 ← 1 138.11 m → S 62.237233°
E 18.413086°		 →
↑
1 137.92 m
↓
↑
1 137.92 m
↓
S 62.247466°
E 18.391113°		 ← 1 137.72 m →
1 294 861 m²		 S 62.247466°
E 18.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551116943359375 y=0.722503662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551116943359375 × 214)
    floor (0.551116943359375 × 16384)
    floor (9029.5)     		tx = 9029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722503662109375 × 214)
    floor (0.722503662109375 × 16384)
    floor (11837.5)     		ty = 11837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9029 / 11837 ti = "14/9029/11837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9029/11837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9029 ÷ 214
    9029 ÷ 16384     		x = 0.55108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11837 ÷ 214
    11837 ÷ 16384     		y = 0.72247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55108642578125 × 2 - 1) × π
    0.1021728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32098548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.4449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39783999292084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32098548} λ = 0.32098548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39783999292084))-π/2
    2×atan(0.247130190809005)-π/2
    2×0.242275847744359-π/2
    0.484551695488719-1.57079632675     		φ = -1.08624463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32098548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08624463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.237233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9029 KachelY 11837 0.32098548 -1.08624463 18.391113 -62.237233
    Oben rechts KachelX + 1 9030 KachelY 11837 0.32136898 -1.08624463 18.413086 -62.237233
    Unten links KachelX 9029 KachelY + 1 11838 0.32098548 -1.08642324 18.391113 -62.247466
    Unten rechts KachelX + 1 9030 KachelY + 1 11838 0.32136898 -1.08642324 18.413086 -62.247466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08624463--1.08642324) × R
    0.000178610000000079 × 6371000     		dl = 1137.9243100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08624463--1.08642324) × R
    0.000178610000000079 × 6371000     		dr = 1137.9243100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32098548-0.32136898) × cos(-1.08624463) × R
    0.000383500000000037 × 0.465811709998508 × 6371000     		do = 1138.1077360877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32098548-0.32136898) × cos(-1.08642324) × R
    0.000383500000000037 × 0.465653653462541 × 6371000     		du = 1137.72155995159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08624463)-sin(-1.08642324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465811709998508-0.465653653462541)×R²
    abs(0.32136898-0.32098548)×0.000158056535966677×R²
    0.000383500000000037×0.000158056535966677×6371000²
    0.000383500000000037×0.000158056535966677×40589641000000     		ar = 1294860.74412948m²