Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9028 / 25827
↖ ↑ ↗
← S 71.423679°
W 80.815429°		 ← 389.15 m → S 71.423679°
W 80.804444°		 →
↑
389.14 m
↓
↑
389.14 m
↓
S 71.427179°
W 80.815429°		 ← 389.08 m →
151 422 m²		 S 71.427179°
W 80.804444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275527954101562 y=0.788192749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275527954101562 × 215)
    floor (0.275527954101562 × 32768)
    floor (9028.5)     		tx = 9028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788192749023438 × 215)
    floor (0.788192749023438 × 32768)
    floor (25827.5)     		ty = 25827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9028 / 25827 ti = "15/9028/25827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9028/25827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9028 ÷ 215
    9028 ÷ 32768     		x = 0.2755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25827 ÷ 215
    25827 ÷ 32768     		y = 0.788177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41049533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.57635498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81067257244876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41049533} λ = -1.41049533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81067257244876))-π/2
    2×atan(0.163544104545645)-π/2
    2×0.162108979035769-π/2
    0.324217958071538-1.57079632675     		φ = -1.24657837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41049533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.815429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24657837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.423679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9028 KachelY 25827 -1.41049533 -1.24657837 -80.815429 -71.423679
    Oben rechts KachelX + 1 9029 KachelY 25827 -1.41030359 -1.24657837 -80.804444 -71.423679
    Unten links KachelX 9028 KachelY + 1 25828 -1.41049533 -1.24663945 -80.815429 -71.427179
    Unten rechts KachelX + 1 9029 KachelY + 1 25828 -1.41030359 -1.24663945 -80.804444 -71.427179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24657837--1.24663945) × R
    6.10800000000467e-05 × 6371000     		dl = 389.140680000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24657837--1.24663945) × R
    6.10800000000467e-05 × 6371000     		dr = 389.140680000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41049533--1.41030359) × cos(-1.24657837) × R
    0.000191739999999996 × 0.318567584477863 × 6371000     		do = 389.154369035032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41049533--1.41030359) × cos(-1.24663945) × R
    0.000191739999999996 × 0.318509686142494 × 6371000     		du = 389.083641844739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24657837)-sin(-1.24663945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318567584477863-0.318509686142494)×R²
    abs(-1.41030359--1.41049533)×5.78983353685669e-05×R²
    0.000191739999999996×5.78983353685669e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.78983353685669e-05×40589641000000     		ar = 151422.034424822m²