Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9027 / 25821
↖ ↑ ↗
← S 71.402669°
W 80.826416°		 ← 389.60 m → S 71.402669°
W 80.815429°		 →
↑
389.59 m
↓
↑
389.59 m
↓
S 71.406172°
W 80.826416°		 ← 389.53 m →
151 769 m²		 S 71.406172°
W 80.815429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275497436523438 y=0.788009643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275497436523438 × 215)
    floor (0.275497436523438 × 32768)
    floor (9027.5)     		tx = 9027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788009643554688 × 215)
    floor (0.788009643554688 × 32768)
    floor (25821.5)     		ty = 25821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9027 / 25821 ti = "15/9027/25821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9027/25821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9027 ÷ 215
    9027 ÷ 32768     		x = 0.275482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25821 ÷ 215
    25821 ÷ 32768     		y = 0.787994384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.44903564453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41068708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787994384765625 × 2 - 1) × π
    -0.57598876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80952208685788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41068708} λ = -1.41068708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80952208685788))-π/2
    2×atan(0.163732367957804)-π/2
    2×0.162292332699772-π/2
    0.324584665399545-1.57079632675     		φ = -1.24621166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41068708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.826416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24621166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.402669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9027 KachelY 25821 -1.41068708 -1.24621166 -80.826416 -71.402669
    Oben rechts KachelX + 1 9028 KachelY 25821 -1.41049533 -1.24621166 -80.815429 -71.402669
    Unten links KachelX 9027 KachelY + 1 25822 -1.41068708 -1.24627281 -80.826416 -71.406172
    Unten rechts KachelX + 1 9028 KachelY + 1 25822 -1.41049533 -1.24627281 -80.815429 -71.406172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24621166--1.24627281) × R
    6.11500000000653e-05 × 6371000     		dl = 389.586650000416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24621166--1.24627281) × R
    6.11500000000653e-05 × 6371000     		dr = 389.586650000416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41068708--1.41049533) × cos(-1.24621166) × R
    0.000191749999999935 × 0.318915167514147 × 6371000     		do = 389.599286055475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41068708--1.41049533) × cos(-1.24627281) × R
    0.000191749999999935 × 0.318857209971313 × 6371000     		du = 389.528482846315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24621166)-sin(-1.24627281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318915167514147-0.318857209971313)×R²
    abs(-1.41049533--1.41068708)×5.79575428341084e-05×R²
    0.000191749999999935×5.79575428341084e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.79575428341084e-05×40589641000000     		ar = 151768.888752365m²