Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9027 / 11836
↖ ↑ ↗
← S 62.226996°
E 18.347168°		 ← 1 138.46 m → S 62.226996°
E 18.369140°		 →
↑
1 138.31 m
↓
↑
1 138.31 m
↓
S 62.237233°
E 18.347168°		 ← 1 138.08 m →
1 295 702 m²		 S 62.237233°
E 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550994873046875 y=0.722442626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550994873046875 × 214)
    floor (0.550994873046875 × 16384)
    floor (9027.5)     		tx = 9027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722442626953125 × 214)
    floor (0.722442626953125 × 16384)
    floor (11836.5)     		ty = 11836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9027 / 11836 ti = "14/9027/11836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9027/11836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9027 ÷ 214
    9027 ÷ 16384     		x = 0.55096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11836 ÷ 214
    11836 ÷ 16384     		y = 0.722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55096435546875 × 2 - 1) × π
    0.1019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32021849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39745649772388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32021849} λ = 0.32021849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39745649772388))-π/2
    2×atan(0.247224982225068)-π/2
    2×0.242365181177134-π/2
    0.484730362354268-1.57079632675     		φ = -1.08606596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32021849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08606596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.226996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9027 KachelY 11836 0.32021849 -1.08606596 18.347168 -62.226996
    Oben rechts KachelX + 1 9028 KachelY 11836 0.32060198 -1.08606596 18.369140 -62.226996
    Unten links KachelX 9027 KachelY + 1 11837 0.32021849 -1.08624463 18.347168 -62.237233
    Unten rechts KachelX + 1 9028 KachelY + 1 11837 0.32060198 -1.08624463 18.369140 -62.237233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08606596--1.08624463) × R
    0.000178669999999936 × 6371000     		dl = 1138.30656999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08606596--1.08624463) × R
    0.000178669999999936 × 6371000     		dr = 1138.30656999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32021849-0.32060198) × cos(-1.08606596) × R
    0.000383489999999986 × 0.465969804762405 × 6371000     		do = 1138.46431868888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32021849-0.32060198) × cos(-1.08624463) × R
    0.000383489999999986 × 0.465811709998508 × 6371000     		du = 1138.0780592235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08606596)-sin(-1.08624463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465969804762405-0.465811709998508)×R²
    abs(0.32060198-0.32021849)×0.000158094763897498×R²
    0.000383489999999986×0.000158094763897498×6371000²
    0.000383489999999986×0.000158094763897498×40589641000000     		ar = 1295701.57627597m²