Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9027 / 11833
↖ ↑ ↗
← S 62.196265°
E 18.347168°		 ← 1 139.62 m → S 62.196265°
E 18.369140°		 →
↑
1 139.45 m
↓
↑
1 139.45 m
↓
S 62.206512°
E 18.347168°		 ← 1 139.24 m →
1 298 328 m²		 S 62.206512°
E 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550994873046875 y=0.722259521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550994873046875 × 214)
    floor (0.550994873046875 × 16384)
    floor (9027.5)     		tx = 9027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722259521484375 × 214)
    floor (0.722259521484375 × 16384)
    floor (11833.5)     		ty = 11833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9027 / 11833 ti = "14/9027/11833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9027/11833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9027 ÷ 214
    9027 ÷ 16384     		x = 0.55096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11833 ÷ 214
    11833 ÷ 16384     		y = 0.72222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55096435546875 × 2 - 1) × π
    0.1019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32021849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.4444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.396306012133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32021849} λ = 0.32021849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.396306012133))-π/2
    2×atan(0.247509574683194)-π/2
    2×0.242633363410051-π/2
    0.485266726820102-1.57079632675     		φ = -1.08552960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32021849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08552960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.196265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9027 KachelY 11833 0.32021849 -1.08552960 18.347168 -62.196265
    Oben rechts KachelX + 1 9028 KachelY 11833 0.32060198 -1.08552960 18.369140 -62.196265
    Unten links KachelX 9027 KachelY + 1 11834 0.32021849 -1.08570845 18.347168 -62.206512
    Unten rechts KachelX + 1 9028 KachelY + 1 11834 0.32060198 -1.08570845 18.369140 -62.206512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08552960--1.08570845) × R
    0.000178849999999953 × 6371000     		dl = 1139.4533499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08552960--1.08570845) × R
    0.000178849999999953 × 6371000     		dr = 1139.4533499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32021849-0.32060198) × cos(-1.08552960) × R
    0.000383489999999986 × 0.466444309375803 × 6371000     		do = 1139.62363537826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32021849-0.32060198) × cos(-1.08570845) × R
    0.000383489999999986 × 0.466286100047518 × 6371000     		du = 1139.23709600747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08552960)-sin(-1.08570845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466444309375803-0.466286100047518)×R²
    abs(0.32060198-0.32021849)×0.000158209328284586×R²
    0.000383489999999986×0.000158209328284586×6371000²
    0.000383489999999986×0.000158209328284586×40589641000000     		ar = 1298327.75074035m²