Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9025 / 11839
↖ ↑ ↗
← S 62.257696°
E 18.303223°		 ← 1 137.31 m → S 62.257696°
E 18.325195°		 →
↑
1 137.16 m
↓
↑
1 137.16 m
↓
S 62.267923°
E 18.303223°		 ← 1 136.92 m →
1 293 079 m²		 S 62.267923°
E 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550872802734375 y=0.722625732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550872802734375 × 214)
    floor (0.550872802734375 × 16384)
    floor (9025.5)     		tx = 9025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722625732421875 × 214)
    floor (0.722625732421875 × 16384)
    floor (11839.5)     		ty = 11839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9025 / 11839 ti = "14/9025/11839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9025/11839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9025 ÷ 214
    9025 ÷ 16384     		x = 0.55084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11839 ÷ 214
    11839 ÷ 16384     		y = 0.72259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55084228515625 × 2 - 1) × π
    0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.4451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39860698331476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31945150} λ = 0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39860698331476))-π/2
    2×atan(0.246940716998191)-π/2
    2×0.2420972718015-π/2
    0.484194543602999-1.57079632675     		φ = -1.08660178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08660178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.257696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9025 KachelY 11839 0.31945150 -1.08660178 18.303223 -62.257696
    Oben rechts KachelX + 1 9026 KachelY 11839 0.31983499 -1.08660178 18.325195 -62.257696
    Unten links KachelX 9025 KachelY + 1 11840 0.31945150 -1.08678027 18.303223 -62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 9026 KachelY + 1 11840 0.31983499 -1.08678027 18.325195 -62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08660178--1.08678027) × R
    0.00017848999999992 × 6371000     		dl = 1137.15978999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08660178--1.08678027) × R
    0.00017848999999992 × 6371000     		dr = 1137.15978999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31945150-0.31983499) × cos(-1.08660178) × R
    0.000383489999999986 × 0.465495644025023 × 6371000     		do = 1137.30584216247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31945150-0.31983499) × cos(-1.08678027) × R
    0.000383489999999986 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 1136.91986304293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08660178)-sin(-1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465495644025023-0.46533766400578)×R²
    abs(0.31983499-0.31945150)×0.000157980019242165×R²
    0.000383489999999986×0.000157980019242165×6371000²
    0.000383489999999986×0.000157980019242165×40589641000000     		ar = 1293079.01610528m²