Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9025 / 11329
↖ ↑ ↗
← N 75.407470°
W130.424195°		 ← 153.90 m → N 75.407470°
W130.418701°		 →
↑
153.92 m
↓
↑
153.92 m
↓
N 75.406086°
W130.424195°		 ← 153.91 m →
23 690 m²		 N 75.406086°
W130.418701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137718200683594 y=0.172874450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137718200683594 × 216)
    floor (0.137718200683594 × 65536)
    floor (9025.5)     		tx = 9025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172874450683594 × 216)
    floor (0.172874450683594 × 65536)
    floor (11329.5)     		ty = 11329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9025 / 11329 ti = "16/9025/11329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9025/11329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9025 ÷ 216
    9025 ÷ 65536     		x = 0.137710571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11329 ÷ 216
    11329 ÷ 65536     		y = 0.172866821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137710571289062 × 2 - 1) × π
    -0.724578857421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27633162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172866821289062 × 2 - 1) × π
    0.654266357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05543838190877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27633162} λ = -2.27633162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05543838190877))-π/2
    2×atan(7.81026099938754)-π/2
    2×1.44345248229674-π/2
    2.88690496459349-1.57079632675     		φ = 1.31610864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27633162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.424195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31610864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.407470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9025 KachelY 11329 -2.27633162 1.31610864 -130.424195 75.407470
    Oben rechts KachelX + 1 9026 KachelY 11329 -2.27623574 1.31610864 -130.418701 75.407470
    Unten links KachelX 9025 KachelY + 1 11330 -2.27633162 1.31608448 -130.424195 75.406086
    Unten rechts KachelX + 1 9026 KachelY + 1 11330 -2.27623574 1.31608448 -130.418701 75.406086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31610864-1.31608448) × R
    2.41599999999398e-05 × 6371000     		dl = 153.923359999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31610864-1.31608448) × R
    2.41599999999398e-05 × 6371000     		dr = 153.923359999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27633162--2.27623574) × cos(1.31610864) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.251943182312003 × 6371000     		do = 153.899865791096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27633162--2.27623574) × cos(1.31608448) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.251966562885869 × 6371000     		du = 153.914147849245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31610864)-sin(1.31608448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251943182312003-0.251966562885869)×R²
    abs(-2.27623574--2.27633162)×2.33805738654169e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.33805738654169e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.33805738654169e-05×40589641000000     		ar = 23689.8836184493m²