Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9023 / 9407
↖ ↑ ↗
← S 25.780107°
E 18.259277°		 ← 2 200.04 m → S 25.780107°
E 18.281250°		 →
↑
2 199.91 m
↓
↑
2 199.91 m
↓
S 25.799891°
E 18.259277°		 ← 2 199.67 m →
4 839 481 m²		 S 25.799891°
E 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550750732421875 y=0.574188232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550750732421875 × 214)
    floor (0.550750732421875 × 16384)
    floor (9023.5)     		tx = 9023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574188232421875 × 214)
    floor (0.574188232421875 × 16384)
    floor (9407.5)     		ty = 9407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9023 / 9407 ti = "14/9023/9407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9023/9407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9023 ÷ 214
    9023 ÷ 16384     		x = 0.55072021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9407 ÷ 214
    9407 ÷ 16384     		y = 0.57415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55072021484375 × 2 - 1) × π
    0.1014404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31868451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.465946664306946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31868451} λ = 0.31868451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465946664306946))-π/2
    2×atan(0.627540753475782)-π/2
    2×0.560424288036797-π/2
    1.12084857607359-1.57079632675     		φ = -0.44994775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31868451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44994775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.780107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9023 KachelY 9407 0.31868451 -0.44994775 18.259277 -25.780107
    Oben rechts KachelX + 1 9024 KachelY 9407 0.31906800 -0.44994775 18.281250 -25.780107
    Unten links KachelX 9023 KachelY + 1 9408 0.31868451 -0.45029305 18.259277 -25.799891
    Unten rechts KachelX + 1 9024 KachelY + 1 9408 0.31906800 -0.45029305 18.281250 -25.799891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44994775--0.45029305) × R
    0.000345299999999993 × 6371000     		dl = 2199.90629999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44994775--0.45029305) × R
    0.000345299999999993 × 6371000     		dr = 2199.90629999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31868451-0.31906800) × cos(-0.44994775) × R
    0.000383490000000042 × 0.900469828072685 × 6371000     		do = 2200.04120189618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31868451-0.31906800) × cos(-0.45029305) × R
    0.000383490000000042 × 0.900319597040296 × 6371000     		du = 2199.67415521593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44994775)-sin(-0.45029305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900469828072685-0.900319597040296)×R²
    abs(0.31906800-0.31868451)×0.000150231032389425×R²
    0.000383490000000042×0.000150231032389425×6371000²
    0.000383490000000042×0.000150231032389425×40589641000000     		ar = 4839480.81424413m²