Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9023 / 12993
↖ ↑ ↗
← S 71.972189°
E 18.259277°		 ← 756.12 m → S 71.972189°
E 18.281250°		 →
↑
755.98 m
↓
↑
755.98 m
↓
S 71.978988°
E 18.259277°		 ← 755.85 m →
571 512 m²		 S 71.978988°
E 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550750732421875 y=0.793060302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550750732421875 × 214)
    floor (0.550750732421875 × 16384)
    floor (9023.5)     		tx = 9023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.793060302734375 × 214)
    floor (0.793060302734375 × 16384)
    floor (12993.5)     		ty = 12993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9023 / 12993 ti = "14/9023/12993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9023/12993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9023 ÷ 214
    9023 ÷ 16384     		x = 0.55072021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12993 ÷ 214
    12993 ÷ 16384     		y = 0.79302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55072021484375 × 2 - 1) × π
    0.1014404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31868451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79302978515625 × 2 - 1) × π
    -0.5860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.84116044060712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31868451} λ = 0.31868451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84116044060712))-π/2
    2×atan(0.158633234808749)-π/2
    2×0.157322329395074-π/2
    0.314644658790149-1.57079632675     		φ = -1.25615167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31868451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25615167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.972189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9023 KachelY 12993 0.31868451 -1.25615167 18.259277 -71.972189
    Oben rechts KachelX + 1 9024 KachelY 12993 0.31906800 -1.25615167 18.281250 -71.972189
    Unten links KachelX 9023 KachelY + 1 12994 0.31868451 -1.25627033 18.259277 -71.978988
    Unten rechts KachelX + 1 9024 KachelY + 1 12994 0.31906800 -1.25627033 18.281250 -71.978988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25615167--1.25627033) × R
    0.000118660000000048 × 6371000     		dl = 755.982860000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25615167--1.25627033) × R
    0.000118660000000048 × 6371000     		dr = 755.982860000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31868451-0.31906800) × cos(-1.25615167) × R
    0.000383490000000042 × 0.309478592641953 × 6371000     		do = 756.122674731288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31868451-0.31906800) × cos(-1.25627033) × R
    0.000383490000000042 × 0.309365755908841 × 6371000     		du = 755.846990356092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25615167)-sin(-1.25627033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309478592641953-0.309365755908841)×R²
    abs(0.31906800-0.31868451)×0.000112836733112742×R²
    0.000383490000000042×0.000112836733112742×6371000²
    0.000383490000000042×0.000112836733112742×40589641000000     		ar = 571511.576493263m²