Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9023 / 12992
↖ ↑ ↗
← S 71.965388°
E 18.259277°		 ← 756.40 m → S 71.965388°
E 18.281250°		 →
↑
756.30 m
↓
↑
756.30 m
↓
S 71.972189°
E 18.259277°		 ← 756.12 m →
571 961 m²		 S 71.972189°
E 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550750732421875 y=0.792999267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550750732421875 × 214)
    floor (0.550750732421875 × 16384)
    floor (9023.5)     		tx = 9023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.792999267578125 × 214)
    floor (0.792999267578125 × 16384)
    floor (12992.5)     		ty = 12992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9023 / 12992 ti = "14/9023/12992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9023/12992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9023 ÷ 214
    9023 ÷ 16384     		x = 0.55072021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12992 ÷ 214
    12992 ÷ 16384     		y = 0.79296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55072021484375 × 2 - 1) × π
    0.1014404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31868451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79296875 × 2 - 1) × π
    -0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31868451} λ = 0.31868451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84077694541016))-π/2
    2×atan(0.158694081558849)-π/2
    2×0.157381681993559-π/2
    0.314763363987118-1.57079632675     		φ = -1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31868451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9023 KachelY 12992 0.31868451 -1.25603296 18.259277 -71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 9024 KachelY 12992 0.31906800 -1.25603296 18.281250 -71.965388
    Unten links KachelX 9023 KachelY + 1 12993 0.31868451 -1.25615167 18.259277 -71.972189
    Unten rechts KachelX + 1 9024 KachelY + 1 12993 0.31906800 -1.25615167 18.281250 -71.972189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25603296--1.25615167) × R
    0.000118709999999966 × 6371000     		dl = 756.301409999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25603296--1.25615167) × R
    0.000118709999999966 × 6371000     		dr = 756.301409999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31868451-0.31906800) × cos(-1.25603296) × R
    0.000383490000000042 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 756.398464619071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31868451-0.31906800) × cos(-1.25615167) × R
    0.000383490000000042 × 0.309478592641953 × 6371000     		du = 756.122674731288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25603296)-sin(-1.25615167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.309478592641953)×R²
    abs(0.31906800-0.31868451)×0.000112879919077213×R²
    0.000383490000000042×0.000112879919077213×6371000²
    0.000383490000000042×0.000112879919077213×40589641000000     		ar = 571960.935844259m²