Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9020 / 9829
↖ ↑ ↗
← S 33.815667°
E 18.193359°		 ← 2 029.95 m → S 33.815667°
E 18.215332°		 →
↑
2 029.67 m
↓
↑
2 029.67 m
↓
S 33.833920°
E 18.193359°		 ← 2 029.52 m →
4 119 705 m²		 S 33.833920°
E 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550567626953125 y=0.599945068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550567626953125 × 214)
    floor (0.550567626953125 × 16384)
    floor (9020.5)     		tx = 9020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599945068359375 × 214)
    floor (0.599945068359375 × 16384)
    floor (9829.5)     		ty = 9829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9020 / 9829 ti = "14/9020/9829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9020/9829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9020 ÷ 214
    9020 ÷ 16384     		x = 0.550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9829 ÷ 214
    9829 ÷ 16384     		y = 0.59991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550537109375 × 2 - 1) × π
    0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.1998291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.627781637424255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31753402} λ = 0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627781637424255))-π/2
    2×atan(0.53377459417339)-π/2
    2×0.490300805483612-π/2
    0.980601610967224-1.57079632675     		φ = -0.59019472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59019472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.815667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9020 KachelY 9829 0.31753402 -0.59019472 18.193359 -33.815667
    Oben rechts KachelX + 1 9021 KachelY 9829 0.31791752 -0.59019472 18.215332 -33.815667
    Unten links KachelX 9020 KachelY + 1 9830 0.31753402 -0.59051330 18.193359 -33.833920
    Unten rechts KachelX + 1 9021 KachelY + 1 9830 0.31791752 -0.59051330 18.215332 -33.833920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59019472--0.59051330) × R
    0.000318580000000068 × 6371000     		dl = 2029.67318000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59019472--0.59051330) × R
    0.000318580000000068 × 6371000     		dr = 2029.67318000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31753402-0.31791752) × cos(-0.59019472) × R
    0.000383500000000037 × 0.830832328729544 × 6371000     		do = 2029.95476589002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31753402-0.31791752) × cos(-0.59051330) × R
    0.000383500000000037 × 0.830654989532812 × 6371000     		du = 2029.52147684344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59019472)-sin(-0.59051330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830832328729544-0.830654989532812)×R²
    abs(0.31791752-0.31753402)×0.000177339196731241×R²
    0.000383500000000037×0.000177339196731241×6371000²
    0.000383500000000037×0.000177339196731241×40589641000000     		ar = 4119705.06220436m²