Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9020 / 9405
↖ ↑ ↗
← S 25.740529°
E 18.193359°		 ← 2 200.83 m → S 25.740529°
E 18.215332°		 →
↑
2 200.67 m
↓
↑
2 200.67 m
↓
S 25.760320°
E 18.193359°		 ← 2 200.47 m →
4 842 904 m²		 S 25.760320°
E 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550567626953125 y=0.574066162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550567626953125 × 214)
    floor (0.550567626953125 × 16384)
    floor (9020.5)     		tx = 9020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574066162109375 × 214)
    floor (0.574066162109375 × 16384)
    floor (9405.5)     		ty = 9405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9020 / 9405 ti = "14/9020/9405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9020/9405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9020 ÷ 214
    9020 ÷ 16384     		x = 0.550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9405 ÷ 214
    9405 ÷ 16384     		y = 0.57403564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550537109375 × 2 - 1) × π
    0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57403564453125 × 2 - 1) × π
    -0.1480712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.465179673913025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31753402} λ = 0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465179673913025))-π/2
    2×atan(0.628022255835729)-π/2
    2×0.560769671466296-π/2
    1.12153934293259-1.57079632675     		φ = -0.44925698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44925698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.740529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9020 KachelY 9405 0.31753402 -0.44925698 18.193359 -25.740529
    Oben rechts KachelX + 1 9021 KachelY 9405 0.31791752 -0.44925698 18.215332 -25.740529
    Unten links KachelX 9020 KachelY + 1 9406 0.31753402 -0.44960240 18.193359 -25.760320
    Unten rechts KachelX + 1 9021 KachelY + 1 9406 0.31791752 -0.44960240 18.215332 -25.760320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44925698--0.44960240) × R
    0.000345420000000041 × 6371000     		dl = 2200.67082000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44925698--0.44960240) × R
    0.000345420000000041 × 6371000     		dr = 2200.67082000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31753402-0.31791752) × cos(-0.44925698) × R
    0.000383500000000037 × 0.900770041855264 × 6371000     		do = 2200.83207670928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31753402-0.31791752) × cos(-0.44960240) × R
    0.000383500000000037 × 0.900619973470552 × 6371000     		du = 2200.46541785138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44925698)-sin(-0.44960240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900770041855264-0.900619973470552)×R²
    abs(0.31791752-0.31753402)×0.000150068384712543×R²
    0.000383500000000037×0.000150068384712543×6371000²
    0.000383500000000037×0.000150068384712543×40589641000000     		ar = 4842903.53136187m²