Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 902 / 901
↖ ↑ ↗
← N 70.466207°
W100.722656°		 ← 3 267.72 m → N 70.466207°
W100.634766°		 →
↑
3 270.11 m
↓
↑
3 270.11 m
↓
N 70.436799°
W100.722656°		 ← 3 272.45 m →
10 693 532 m²		 N 70.436799°
W100.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2203369140625 y=0.2200927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2203369140625 × 212)
    floor (0.2203369140625 × 4096)
    floor (902.5)     		tx = 902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2200927734375 × 212)
    floor (0.2200927734375 × 4096)
    floor (901.5)     		ty = 901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 902 / 901 ti = "12/902/901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/902/901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 902 ÷ 212
    902 ÷ 4096     		x = 0.22021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 901 ÷ 212
    901 ÷ 4096     		y = 0.219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22021484375 × 2 - 1) × π
    -0.5595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75794198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219970703125 × 2 - 1) × π
    0.56005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75947596365454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75794198} λ = -1.75794198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75947596365454))-π/2
    2×atan(5.80939226390143)-π/2
    2×1.40033182884494-π/2
    2.80066365768988-1.57079632675     		φ = 1.22986733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75794198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22986733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.466207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 902 KachelY 901 -1.75794198 1.22986733 -100.722656 70.466207
    Oben rechts KachelX + 1 903 KachelY 901 -1.75640800 1.22986733 -100.634766 70.466207
    Unten links KachelX 902 KachelY + 1 902 -1.75794198 1.22935405 -100.722656 70.436799
    Unten rechts KachelX + 1 903 KachelY + 1 902 -1.75640800 1.22935405 -100.634766 70.436799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22986733-1.22935405) × R
    0.00051328000000006 × 6371000     		dl = 3270.10688000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22986733-1.22935405) × R
    0.00051328000000006 × 6371000     		dr = 3270.10688000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75794198--1.75640800) × cos(1.22986733) × R
    0.00153398000000005 × 0.334362764171974 × 6371000     		do = 3267.7228071045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75794198--1.75640800) × cos(1.22935405) × R
    0.00153398000000005 × 0.334846457993195 × 6371000     		du = 3272.44994032813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22986733)-sin(1.22935405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334362764171974-0.334846457993195)×R²
    abs(-1.75640800--1.75794198)×0.000483693821221487×R²
    0.00153398000000005×0.000483693821221487×6371000²
    0.00153398000000005×0.000483693821221487×40589641000000     		ar = 10693532.1836623m²