Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9017 / 4695
↖ ↑ ↗
← N 82.244668°
W130.468140°		 ← 82.43 m → N 82.244668°
W130.462646°		 →
↑
82.38 m
↓
↑
82.38 m
↓
N 82.243927°
W130.468140°		 ← 82.44 m →
6 791 m²		 N 82.243927°
W130.462646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137596130371094 y=0.0716476440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137596130371094 × 216)
    floor (0.137596130371094 × 65536)
    floor (9017.5)     		tx = 9017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0716476440429688 × 216)
    floor (0.0716476440429688 × 65536)
    floor (4695.5)     		ty = 4695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9017 / 4695 ti = "16/9017/4695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9017/4695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9017 ÷ 216
    9017 ÷ 65536     		x = 0.137588500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4695 ÷ 216
    4695 ÷ 65536     		y = 0.0716400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137588500976562 × 2 - 1) × π
    -0.724822998046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27709861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0716400146484375 × 2 - 1) × π
    0.856719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69146516606767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27709861} λ = -2.27709861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69146516606767))-π/2
    2×atan(14.7532760921764)-π/2
    2×1.50311829005698-π/2
    3.00623658011396-1.57079632675     		φ = 1.43544025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27709861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.468140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43544025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.244668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9017 KachelY 4695 -2.27709861 1.43544025 -130.468140 82.244668
    Oben rechts KachelX + 1 9018 KachelY 4695 -2.27700273 1.43544025 -130.462646 82.244668
    Unten links KachelX 9017 KachelY + 1 4696 -2.27709861 1.43542732 -130.468140 82.243927
    Unten rechts KachelX + 1 9018 KachelY + 1 4696 -2.27700273 1.43542732 -130.462646 82.243927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43544025-1.43542732) × R
    1.29300000000221e-05 × 6371000     		dl = 82.3770300001407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43544025-1.43542732) × R
    1.29300000000221e-05 × 6371000     		dr = 82.3770300001407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27709861--2.27700273) × cos(1.43544025) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134943139437568 × 6371000     		do = 82.4302164412305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27709861--2.27700273) × cos(1.43542732) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134955951160024 × 6371000     		du = 82.4380425008541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43544025)-sin(1.43542732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134943139437568-0.134955951160024)×R²
    abs(-2.27700273--2.27709861)×1.28117224560687e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.28117224560687e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.28117224560687e-05×40589641000000     		ar = 6790.67875650776m²