Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90160 / 24711
↖ ↑ ↗
← N 73.917144°
E 67.631836°		 ← 84.59 m → N 73.917144°
E 67.634582°		 →
↑
84.61 m
↓
↑
84.61 m
↓
N 73.916383°
E 67.631836°		 ← 84.60 m →
7 157 m²		 N 73.916383°
E 67.634582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687870025634766 y=0.188533782958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687870025634766 × 217)
    floor (0.687870025634766 × 131072)
    floor (90160.5)     		tx = 90160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188533782958984 × 217)
    floor (0.188533782958984 × 131072)
    floor (24711.5)     		ty = 24711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90160 / 24711 ti = "17/90160/24711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90160/24711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90160 ÷ 217
    90160 ÷ 131072     		x = 0.6878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24711 ÷ 217
    24711 ÷ 131072     		y = 0.188529968261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6878662109375 × 2 - 1) × π
    0.375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18039822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188529968261719 × 2 - 1) × π
    0.622940063476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.95702392698879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18039822} λ = 1.18039822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95702392698879))-π/2
    2×atan(7.07823035772224)-π/2
    2×1.43044692778487-π/2
    2.86089385556974-1.57079632675     		φ = 1.29009753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18039822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.631836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29009753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.917144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90160 KachelY 24711 1.18039822 1.29009753 67.631836 73.917144
    Oben rechts KachelX + 1 90161 KachelY 24711 1.18044615 1.29009753 67.634582 73.917144
    Unten links KachelX 90160 KachelY + 1 24712 1.18039822 1.29008425 67.631836 73.916383
    Unten rechts KachelX + 1 90161 KachelY + 1 24712 1.18044615 1.29008425 67.634582 73.916383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29009753-1.29008425) × R
    1.32799999998934e-05 × 6371000     		dl = 84.6068799993207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29009753-1.29008425) × R
    1.32799999998934e-05 × 6371000     		dr = 84.6068799993207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18039822-1.18044615) × cos(1.29009753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.277027163494893 × 6371000     		do = 84.5935770099943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18039822-1.18044615) × cos(1.29008425) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.277039923718983 × 6371000     		du = 84.5974734979257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29009753)-sin(1.29008425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277027163494893-0.277039923718983)×R²
    abs(1.18044615-1.18039822)×1.27602240899694e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27602240899694e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27602240899694e-05×40589641000000     		ar = 7157.36345382947m²