Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9016 / 26237
↖ ↑ ↗
← S 72.806334°
W 80.947266°		 ← 361.12 m → S 72.806334°
W 80.936279°		 →
↑
361.04 m
↓
↑
361.04 m
↓
S 72.809581°
W 80.947266°		 ← 361.05 m →
130 368 m²		 S 72.809581°
W 80.936279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275161743164062 y=0.800704956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275161743164062 × 215)
    floor (0.275161743164062 × 32768)
    floor (9016.5)     		tx = 9016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800704956054688 × 215)
    floor (0.800704956054688 × 32768)
    floor (26237.5)     		ty = 26237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9016 / 26237 ti = "15/9016/26237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9016/26237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9016 ÷ 215
    9016 ÷ 32768     		x = 0.275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26237 ÷ 215
    26237 ÷ 32768     		y = 0.800689697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.44970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41279631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800689697265625 × 2 - 1) × π
    -0.60137939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88928908782565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41279631} λ = -1.41279631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88928908782565))-π/2
    2×atan(0.151179245809074)-π/2
    2×0.150043044253763-π/2
    0.300086088507527-1.57079632675     		φ = -1.27071024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41279631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.947266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27071024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.806334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9016 KachelY 26237 -1.41279631 -1.27071024 -80.947266 -72.806334
    Oben rechts KachelX + 1 9017 KachelY 26237 -1.41260456 -1.27071024 -80.936279 -72.806334
    Unten links KachelX 9016 KachelY + 1 26238 -1.41279631 -1.27076691 -80.947266 -72.809581
    Unten rechts KachelX + 1 9017 KachelY + 1 26238 -1.41260456 -1.27076691 -80.936279 -72.809581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27071024--1.27076691) × R
    5.66699999999809e-05 × 6371000     		dl = 361.044569999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27071024--1.27076691) × R
    5.66699999999809e-05 × 6371000     		dr = 361.044569999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41279631--1.41260456) × cos(-1.27071024) × R
    0.000191750000000157 × 0.295602447422594 × 6371000     		do = 361.119552167798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41279631--1.41260456) × cos(-1.27076691) × R
    0.000191750000000157 × 0.295548309471029 × 6371000     		du = 361.053415121252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27071024)-sin(-1.27076691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295602447422594-0.295548309471029)×R²
    abs(-1.41260456--1.41279631)×5.4137951564337e-05×R²
    0.000191750000000157×5.4137951564337e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.4137951564337e-05×40589641000000     		ar = 130368.314254672m²