Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90159 / 24625
↖ ↑ ↗
← N 73.982449°
E 67.629089°		 ← 84.28 m → N 73.982449°
E 67.631836°		 →
↑
84.22 m
↓
↑
84.22 m
↓
N 73.981692°
E 67.629089°		 ← 84.28 m →
7 098 m²		 N 73.981692°
E 67.631836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687862396240234 y=0.187877655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687862396240234 × 217)
    floor (0.687862396240234 × 131072)
    floor (90159.5)     		tx = 90159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187877655029297 × 217)
    floor (0.187877655029297 × 131072)
    floor (24625.5)     		ty = 24625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90159 / 24625 ti = "17/90159/24625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90159/24625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90159 ÷ 217
    90159 ÷ 131072     		x = 0.687858581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24625 ÷ 217
    24625 ÷ 131072     		y = 0.187873840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687858581542969 × 2 - 1) × π
    0.375717163085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.18035028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187873840332031 × 2 - 1) × π
    0.624252319335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.96114650035612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18035028} λ = 1.18035028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96114650035612))-π/2
    2×atan(7.1074711138503)-π/2
    2×1.43101683056503-π/2
    2.86203366113006-1.57079632675     		φ = 1.29123733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18035028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.629089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29123733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.982449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90159 KachelY 24625 1.18035028 1.29123733 67.629089 73.982449
    Oben rechts KachelX + 1 90160 KachelY 24625 1.18039822 1.29123733 67.631836 73.982449
    Unten links KachelX 90159 KachelY + 1 24626 1.18035028 1.29122411 67.629089 73.981692
    Unten rechts KachelX + 1 90160 KachelY + 1 24626 1.18039822 1.29122411 67.631836 73.981692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29123733-1.29122411) × R
    1.3220000000036e-05 × 6371000     		dl = 84.2246200002292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29123733-1.29122411) × R
    1.3220000000036e-05 × 6371000     		dr = 84.2246200002292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18035028-1.18039822) × cos(1.29123733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275931793175923 × 6371000     		do = 84.276672120228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18035028-1.18039822) × cos(1.29122411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.27594449991464 × 6371000     		du = 84.2805530853037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29123733)-sin(1.29122411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275931793175923-0.27594449991464)×R²
    abs(1.18039822-1.18035028)×1.2706738717172e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2706738717172e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2706738717172e-05×40589641000000     		ar = 7098.33412084007m²