Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90153 / 24623
↖ ↑ ↗
← N 73.983965°
E 67.612610°		 ← 84.25 m → N 73.983965°
E 67.615356°		 →
↑
84.29 m
↓
↑
84.29 m
↓
N 73.983207°
E 67.612610°		 ← 84.26 m →
7 102 m²		 N 73.983207°
E 67.615356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687816619873047 y=0.187862396240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687816619873047 × 217)
    floor (0.687816619873047 × 131072)
    floor (90153.5)     		tx = 90153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187862396240234 × 217)
    floor (0.187862396240234 × 131072)
    floor (24623.5)     		ty = 24623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90153 / 24623 ti = "17/90153/24623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90153/24623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90153 ÷ 217
    90153 ÷ 131072     		x = 0.687812805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24623 ÷ 217
    24623 ÷ 131072     		y = 0.187858581542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687812805175781 × 2 - 1) × π
    0.375625610351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.18006266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187858581542969 × 2 - 1) × π
    0.624282836914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.96124237415536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18006266} λ = 1.18006266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96124237415536))-π/2
    2×atan(7.1081525667752)-π/2
    2×1.43103005727006-π/2
    2.86206011454012-1.57079632675     		φ = 1.29126379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18006266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.612610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29126379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.983965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90153 KachelY 24623 1.18006266 1.29126379 67.612610 73.983965
    Oben rechts KachelX + 1 90154 KachelY 24623 1.18011059 1.29126379 67.615356 73.983965
    Unten links KachelX 90153 KachelY + 1 24624 1.18006266 1.29125056 67.612610 73.983207
    Unten rechts KachelX + 1 90154 KachelY + 1 24624 1.18011059 1.29125056 67.615356 73.983207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29126379-1.29125056) × R
    1.32299999999752e-05 × 6371000     		dl = 84.288329999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29126379-1.29125056) × R
    1.32299999999752e-05 × 6371000     		dr = 84.288329999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18006266-1.18011059) × cos(1.29126379) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.275906360330128 × 6371000     		do = 84.251326280371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18006266-1.18011059) × cos(1.29125056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.275919076777173 × 6371000     		du = 84.255209400455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29126379)-sin(1.29125056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275906360330128-0.275919076777173)×R²
    abs(1.18011059-1.18006266)×1.27164470448693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27164470448693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27164470448693e-05×40589641000000     		ar = 7101.5672433837m²