Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9015 / 26235
↖ ↑ ↗
← S 72.799838°
W 80.958252°		 ← 361.23 m → S 72.799838°
W 80.947266°		 →
↑
361.17 m
↓
↑
361.17 m
↓
S 72.803086°
W 80.958252°		 ← 361.17 m →
130 455 m²		 S 72.803086°
W 80.947266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275131225585938 y=0.800643920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275131225585938 × 215)
    floor (0.275131225585938 × 32768)
    floor (9015.5)     		tx = 9015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800643920898438 × 215)
    floor (0.800643920898438 × 32768)
    floor (26235.5)     		ty = 26235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9015 / 26235 ti = "15/9015/26235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9015/26235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9015 ÷ 215
    9015 ÷ 32768     		x = 0.275115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26235 ÷ 215
    26235 ÷ 32768     		y = 0.800628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.44976806640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41298805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800628662109375 × 2 - 1) × π
    -0.60125732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88890559262869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41298805} λ = -1.41298805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88890559262869))-π/2
    2×atan(0.151237233442001)-π/2
    2×0.150099735697379-π/2
    0.300199471394758-1.57079632675     		φ = -1.27059686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41298805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.958252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27059686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.799838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9015 KachelY 26235 -1.41298805 -1.27059686 -80.958252 -72.799838
    Oben rechts KachelX + 1 9016 KachelY 26235 -1.41279631 -1.27059686 -80.947266 -72.799838
    Unten links KachelX 9015 KachelY + 1 26236 -1.41298805 -1.27065355 -80.958252 -72.803086
    Unten rechts KachelX + 1 9016 KachelY + 1 26236 -1.41279631 -1.27065355 -80.947266 -72.803086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27059686--1.27065355) × R
    5.66900000000814e-05 × 6371000     		dl = 361.171990000519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27059686--1.27065355) × R
    5.66900000000814e-05 × 6371000     		dr = 361.171990000519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41298805--1.41279631) × cos(-1.27059686) × R
    0.000191739999999996 × 0.295710758688678 × 6371000     		do = 361.233029728924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41298805--1.41279631) × cos(-1.27065355) × R
    0.000191739999999996 × 0.29565660353072 × 6371000     		du = 361.166875112597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27059686)-sin(-1.27065355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295710758688678-0.29565660353072)×R²
    abs(-1.41279631--1.41298805)×5.41551579580357e-05×R²
    0.000191739999999996×5.41551579580357e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.41551579580357e-05×40589641000000     		ar = 130455.305638731m²