Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9015 / 11968
↖ ↑ ↗
← S 63.548552°
E 18.083496°		 ← 1 088.30 m → S 63.548552°
E 18.105469°		 →
↑
1 088.17 m
↓
↑
1 088.17 m
↓
S 63.558338°
E 18.083496°		 ← 1 087.93 m →
1 184 053 m²		 S 63.558338°
E 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550262451171875 y=0.730499267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550262451171875 × 214)
    floor (0.550262451171875 × 16384)
    floor (9015.5)     		tx = 9015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730499267578125 × 214)
    floor (0.730499267578125 × 16384)
    floor (11968.5)     		ty = 11968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9015 / 11968 ti = "14/9015/11968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9015/11968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9015 ÷ 214
    9015 ÷ 16384     		x = 0.55023193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11968 ÷ 214
    11968 ÷ 16384     		y = 0.73046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55023193359375 × 2 - 1) × π
    0.1004638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31561655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73046875 × 2 - 1) × π
    -0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31561655} λ = 0.31561655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44807786372266))-π/2
    2×atan(0.235021597754514)-π/2
    2×0.230832427744353-π/2
    0.461664855488706-1.57079632675     		φ = -1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31561655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.083496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9015 KachelY 11968 0.31561655 -1.10913147 18.083496 -63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 9016 KachelY 11968 0.31600004 -1.10913147 18.105469 -63.548552
    Unten links KachelX 9015 KachelY + 1 11969 0.31561655 -1.10930227 18.083496 -63.558338
    Unten rechts KachelX + 1 9016 KachelY + 1 11969 0.31600004 -1.10930227 18.105469 -63.558338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10913147--1.10930227) × R
    0.000170800000000026 × 6371000     		dl = 1088.16680000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10913147--1.10930227) × R
    0.000170800000000026 × 6371000     		dr = 1088.16680000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31561655-0.31600004) × cos(-1.10913147) × R
    0.000383489999999986 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 1088.30386164242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31561655-0.31600004) × cos(-1.10930227) × R
    0.000383489999999986 × 0.445286364298313 × 6371000     		du = 1087.93023103893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10913147)-sin(-1.10930227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.445286364298313)×R²
    abs(0.31600004-0.31561655)×0.000152925811118199×R²
    0.000383489999999986×0.000152925811118199×6371000²
    0.000383489999999986×0.000152925811118199×40589641000000     		ar = 1184052.84722136m²