Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90147 / 24706
↖ ↑ ↗
← N 73.920947°
E 67.596131°		 ← 84.57 m → N 73.920947°
E 67.598877°		 →
↑
84.61 m
↓
↑
84.61 m
↓
N 73.920187°
E 67.596131°		 ← 84.58 m →
7 156 m²		 N 73.920187°
E 67.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687770843505859 y=0.188495635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687770843505859 × 217)
    floor (0.687770843505859 × 131072)
    floor (90147.5)     		tx = 90147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188495635986328 × 217)
    floor (0.188495635986328 × 131072)
    floor (24706.5)     		ty = 24706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90147 / 24706 ti = "17/90147/24706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90147/24706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90147 ÷ 217
    90147 ÷ 131072     		x = 0.687767028808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24706 ÷ 217
    24706 ÷ 131072     		y = 0.188491821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687767028808594 × 2 - 1) × π
    0.375534057617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.17977504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188491821289062 × 2 - 1) × π
    0.623016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.95726361148689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17977504} λ = 1.17977504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95726361148689))-π/2
    2×atan(7.07992710314663)-π/2
    2×1.43048012352061-π/2
    2.86096024704122-1.57079632675     		φ = 1.29016392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17977504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.596131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29016392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.920947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90147 KachelY 24706 1.17977504 1.29016392 67.596131 73.920947
    Oben rechts KachelX + 1 90148 KachelY 24706 1.17982297 1.29016392 67.598877 73.920947
    Unten links KachelX 90147 KachelY + 1 24707 1.17977504 1.29015064 67.596131 73.920187
    Unten rechts KachelX + 1 90148 KachelY + 1 24707 1.17982297 1.29015064 67.598877 73.920187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29016392-1.29015064) × R
    1.32799999998934e-05 × 6371000     		dl = 84.6068799993207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29016392-1.29015064) × R
    1.32799999998934e-05 × 6371000     		dr = 84.6068799993207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17977504-1.17982297) × cos(1.29016392) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276963371250452 × 6371000     		do = 84.5740972807334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17977504-1.17982297) × cos(1.29015064) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276976131718763 × 6371000     		du = 84.5779938432406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29016392)-sin(1.29015064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276963371250452-0.276976131718763)×R²
    abs(1.17982297-1.17977504)×1.27604683110016e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27604683110016e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27604683110016e-05×40589641000000     		ar = 7155.71533773376m²