Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90140 / 24646
↖ ↑ ↗
← N 73.966527°
E 67.576904°		 ← 84.36 m → N 73.966527°
E 67.579651°		 →
↑
84.35 m
↓
↑
84.35 m
↓
N 73.965768°
E 67.576904°		 ← 84.36 m →
7 116 m²		 N 73.965768°
E 67.579651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687717437744141 y=0.188037872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687717437744141 × 217)
    floor (0.687717437744141 × 131072)
    floor (90140.5)     		tx = 90140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188037872314453 × 217)
    floor (0.188037872314453 × 131072)
    floor (24646.5)     		ty = 24646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90140 / 24646 ti = "17/90140/24646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90140/24646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90140 ÷ 217
    90140 ÷ 131072     		x = 0.687713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24646 ÷ 217
    24646 ÷ 131072     		y = 0.188034057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687713623046875 × 2 - 1) × π
    0.37542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17943948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188034057617188 × 2 - 1) × π
    0.623931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9601398254641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17943948} λ = 1.17943948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9601398254641))-π/2
    2×atan(7.10031980126156)-π/2
    2×1.43087787655024-π/2
    2.86175575310049-1.57079632675     		φ = 1.29095943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17943948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.576904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29095943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.966527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90140 KachelY 24646 1.17943948 1.29095943 67.576904 73.966527
    Oben rechts KachelX + 1 90141 KachelY 24646 1.17948742 1.29095943 67.579651 73.966527
    Unten links KachelX 90140 KachelY + 1 24647 1.17943948 1.29094619 67.576904 73.965768
    Unten rechts KachelX + 1 90141 KachelY + 1 24647 1.17948742 1.29094619 67.579651 73.965768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29095943-1.29094619) × R
    1.32399999999144e-05 × 6371000     		dl = 84.3520399994548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29095943-1.29094619) × R
    1.32399999999144e-05 × 6371000     		dr = 84.3520399994548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17943948-1.17948742) × cos(1.29095943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276198893666641 × 6371000     		do = 84.3582514852599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17943948-1.17948742) × cos(1.29094619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276211618613052 × 6371000     		du = 84.362138011434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29095943)-sin(1.29094619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276198893666641-0.276211618613052)×R²
    abs(1.17948742-1.17943948)×1.27249464113022e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27249464113022e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27249464113022e-05×40589641000000     		ar = 7115.95452184177m²