Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9014 / 4698
↖ ↑ ↗
← N 82.242444°
W130.484619°		 ← 82.45 m → N 82.242444°
W130.479126°		 →
↑
82.50 m
↓
↑
82.50 m
↓
N 82.241702°
W130.484619°		 ← 82.46 m →
6 803 m²		 N 82.241702°
W130.479126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137550354003906 y=0.0716934204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137550354003906 × 216)
    floor (0.137550354003906 × 65536)
    floor (9014.5)     		tx = 9014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0716934204101562 × 216)
    floor (0.0716934204101562 × 65536)
    floor (4698.5)     		ty = 4698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9014 / 4698 ti = "16/9014/4698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9014/4698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9014 ÷ 216
    9014 ÷ 65536     		x = 0.137542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4698 ÷ 216
    4698 ÷ 65536     		y = 0.071685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137542724609375 × 2 - 1) × π
    -0.72491455078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27738623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.071685791015625 × 2 - 1) × π
    0.85662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.69117754466995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27738623} λ = -2.27738623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69117754466995))-π/2
    2×atan(14.7490333444676)-π/2
    2×1.5030988810247-π/2
    3.00619776204941-1.57079632675     		φ = 1.43540144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27738623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.484619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43540144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.242444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9014 KachelY 4698 -2.27738623 1.43540144 -130.484619 82.242444
    Oben rechts KachelX + 1 9015 KachelY 4698 -2.27729035 1.43540144 -130.479126 82.242444
    Unten links KachelX 9014 KachelY + 1 4699 -2.27738623 1.43538849 -130.484619 82.241702
    Unten rechts KachelX + 1 9015 KachelY + 1 4699 -2.27729035 1.43538849 -130.479126 82.241702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43540144-1.43538849) × R
    1.29499999999005e-05 × 6371000     		dl = 82.5044499993663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43540144-1.43538849) × R
    1.29499999999005e-05 × 6371000     		dr = 82.5044499993663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27738623--2.27729035) × cos(1.43540144) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134981594354208 × 6371000     		do = 82.4537066839736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27738623--2.27729035) × cos(1.43538849) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134994425825862 × 6371000     		du = 82.461544807424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43540144)-sin(1.43538849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134981594354208-0.134994425825862)×R²
    abs(-2.27729035--2.27738623)×1.28314716540123e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.28314716540123e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.28314716540123e-05×40589641000000     		ar = 6803.12106076968m²