Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9013 / 9831
↖ ↑ ↗
← S 33.852170°
E 18.039551°		 ← 2 029.04 m → S 33.852170°
E 18.061523°		 →
↑
2 028.84 m
↓
↑
2 028.84 m
↓
S 33.870416°
E 18.039551°		 ← 2 028.60 m →
4 116 158 m²		 S 33.870416°
E 18.061523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550140380859375 y=0.600067138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550140380859375 × 214)
    floor (0.550140380859375 × 16384)
    floor (9013.5)     		tx = 9013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600067138671875 × 214)
    floor (0.600067138671875 × 16384)
    floor (9831.5)     		ty = 9831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9013 / 9831 ti = "14/9013/9831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9013/9831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9013 ÷ 214
    9013 ÷ 16384     		x = 0.55010986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9831 ÷ 214
    9831 ÷ 16384     		y = 0.60003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55010986328125 × 2 - 1) × π
    0.1002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31484956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60003662109375 × 2 - 1) × π
    -0.2000732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.628548627818176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31484956} λ = 0.31484956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628548627818176))-π/2
    2×atan(0.533365351149936)-π/2
    2×0.489982253288196-π/2
    0.979964506576391-1.57079632675     		φ = -0.59083182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31484956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.039551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59083182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.852170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9013 KachelY 9831 0.31484956 -0.59083182 18.039551 -33.852170
    Oben rechts KachelX + 1 9014 KachelY 9831 0.31523305 -0.59083182 18.061523 -33.852170
    Unten links KachelX 9013 KachelY + 1 9832 0.31484956 -0.59115027 18.039551 -33.870416
    Unten rechts KachelX + 1 9014 KachelY + 1 9832 0.31523305 -0.59115027 18.061523 -33.870416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59083182--0.59115027) × R
    0.00031844999999997 × 6371000     		dl = 2028.84494999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59083182--0.59115027) × R
    0.00031844999999997 × 6371000     		dr = 2028.84494999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31484956-0.31523305) × cos(-0.59083182) × R
    0.000383490000000042 × 0.830477599453358 × 6371000     		do = 2029.03515374836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31484956-0.31523305) × cos(-0.59115027) × R
    0.000383490000000042 × 0.830300164129962 × 6371000     		du = 2028.60164114197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59083182)-sin(-0.59115027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830477599453358-0.830300164129962)×R²
    abs(0.31523305-0.31484956)×0.000177435323396091×R²
    0.000383490000000042×0.000177435323396091×6371000²
    0.000383490000000042×0.000177435323396091×40589641000000     		ar = 4116157.99490879m²