Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9013 / 26238
↖ ↑ ↗
← S 72.809581°
W 80.980225°		 ← 361.05 m → S 72.809581°
W 80.969238°		 →
↑
361.04 m
↓
↑
361.04 m
↓
S 72.812828°
W 80.980225°		 ← 360.99 m →
130 344 m²		 S 72.812828°
W 80.969238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275070190429688 y=0.800735473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275070190429688 × 215)
    floor (0.275070190429688 × 32768)
    floor (9013.5)     		tx = 9013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800735473632812 × 215)
    floor (0.800735473632812 × 32768)
    floor (26238.5)     		ty = 26238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9013 / 26238 ti = "15/9013/26238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9013/26238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9013 ÷ 215
    9013 ÷ 32768     		x = 0.275054931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26238 ÷ 215
    26238 ÷ 32768     		y = 0.80072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.44989013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41337155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80072021484375 × 2 - 1) × π
    -0.6014404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88948083542413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41337155} λ = -1.41337155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88948083542413))-π/2
    2×atan(0.151150260330787)-π/2
    2×0.150014706319454-π/2
    0.300029412638907-1.57079632675     		φ = -1.27076691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41337155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.980225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27076691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.809581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9013 KachelY 26238 -1.41337155 -1.27076691 -80.980225 -72.809581
    Oben rechts KachelX + 1 9014 KachelY 26238 -1.41317980 -1.27076691 -80.969238 -72.809581
    Unten links KachelX 9013 KachelY + 1 26239 -1.41337155 -1.27082358 -80.980225 -72.812828
    Unten rechts KachelX + 1 9014 KachelY + 1 26239 -1.41317980 -1.27082358 -80.969238 -72.812828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27076691--1.27082358) × R
    5.66699999999809e-05 × 6371000     		dl = 361.044569999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27076691--1.27082358) × R
    5.66699999999809e-05 × 6371000     		dr = 361.044569999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41337155--1.41317980) × cos(-1.27076691) × R
    0.000191749999999935 × 0.295548309471029 × 6371000     		do = 361.053415120834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41337155--1.41317980) × cos(-1.27082358) × R
    0.000191749999999935 × 0.295494170570315 × 6371000     		du = 360.987276914769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27076691)-sin(-1.27082358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295548309471029-0.295494170570315)×R²
    abs(-1.41317980--1.41337155)×5.41389007145399e-05×R²
    0.000191749999999935×5.41389007145399e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.41389007145399e-05×40589641000000     		ar = 130344.435624513m²