Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90128 / 24716
↖ ↑ ↗
← N 73.913339°
E 67.543946°		 ← 84.61 m → N 73.913339°
E 67.546692°		 →
↑
84.61 m
↓
↑
84.61 m
↓
N 73.912578°
E 67.543946°		 ← 84.62 m →
7 159 m²		 N 73.912578°
E 67.546692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687625885009766 y=0.188571929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687625885009766 × 217)
    floor (0.687625885009766 × 131072)
    floor (90128.5)     		tx = 90128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188571929931641 × 217)
    floor (0.188571929931641 × 131072)
    floor (24716.5)     		ty = 24716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90128 / 24716 ti = "17/90128/24716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90128/24716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90128 ÷ 217
    90128 ÷ 131072     		x = 0.6876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24716 ÷ 217
    24716 ÷ 131072     		y = 0.188568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6876220703125 × 2 - 1) × π
    0.375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17886424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188568115234375 × 2 - 1) × π
    0.62286376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.95678424249069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17886424} λ = 1.17886424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95678424249069))-π/2
    2×atan(7.07653401893269)-π/2
    2×1.43041372440315-π/2
    2.86082744880629-1.57079632675     		φ = 1.29003112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17886424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.543946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29003112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.913339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90128 KachelY 24716 1.17886424 1.29003112 67.543946 73.913339
    Oben rechts KachelX + 1 90129 KachelY 24716 1.17891217 1.29003112 67.546692 73.913339
    Unten links KachelX 90128 KachelY + 1 24717 1.17886424 1.29001784 67.543946 73.912578
    Unten rechts KachelX + 1 90129 KachelY + 1 24717 1.17891217 1.29001784 67.546692 73.912578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29003112-1.29001784) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dl = 84.6068800007353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29003112-1.29001784) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dr = 84.6068800007353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17886424-1.17891217) × cos(1.29003112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.277090973735175 × 6371000     		do = 84.6130622345015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17886424-1.17891217) × cos(1.29001784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.277103733714914 × 6371000     		du = 84.6169586478174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29003112)-sin(1.29001784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277090973735175-0.277103733714914)×R²
    abs(1.17891217-1.17886424)×1.27599797393185e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27599797393185e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27599797393185e-05×40589641000000     		ar = 7159.01203473483m²