Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90126 / 24648
↖ ↑ ↗
← N 73.965009°
E 67.538452°		 ← 84.37 m → N 73.965009°
E 67.541199°		 →
↑
84.35 m
↓
↑
84.35 m
↓
N 73.964251°
E 67.538452°		 ← 84.37 m →
7 117 m²		 N 73.964251°
E 67.541199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687610626220703 y=0.188053131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687610626220703 × 217)
    floor (0.687610626220703 × 131072)
    floor (90126.5)     		tx = 90126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188053131103516 × 217)
    floor (0.188053131103516 × 131072)
    floor (24648.5)     		ty = 24648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90126 / 24648 ti = "17/90126/24648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90126/24648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90126 ÷ 217
    90126 ÷ 131072     		x = 0.687606811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24648 ÷ 217
    24648 ÷ 131072     		y = 0.18804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687606811523438 × 2 - 1) × π
    0.375213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17876836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18804931640625 × 2 - 1) × π
    0.6239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96004395166486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17876836} λ = 1.17876836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96004395166486))-π/2
    2×atan(7.09963909925766)-π/2
    2×1.43086463582141-π/2
    2.86172927164283-1.57079632675     		φ = 1.29093294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17876836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.538452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29093294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.965009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90126 KachelY 24648 1.17876836 1.29093294 67.538452 73.965009
    Oben rechts KachelX + 1 90127 KachelY 24648 1.17881630 1.29093294 67.541199 73.965009
    Unten links KachelX 90126 KachelY + 1 24649 1.17876836 1.29091970 67.538452 73.964251
    Unten rechts KachelX + 1 90127 KachelY + 1 24649 1.17881630 1.29091970 67.541199 73.964251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29093294-1.29091970) × R
    1.32400000001365e-05 × 6371000     		dl = 84.3520400008695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29093294-1.29091970) × R
    1.32400000001365e-05 × 6371000     		dr = 84.3520400008695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17876836-1.17881630) × cos(1.29093294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276224353121977 × 6371000     		do = 84.3660274582457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17876836-1.17881630) × cos(1.29091970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276237077971511 × 6371000     		du = 84.369913954831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29093294)-sin(1.29091970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276224353121977-0.276237077971511)×R²
    abs(1.17881630-1.17876836)×1.27248495342402e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27248495342402e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27248495342402e-05×40589641000000     		ar = 7116.61044006572m²