Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90126 / 24647
↖ ↑ ↗
← N 73.965768°
E 67.538452°		 ← 84.36 m → N 73.965768°
E 67.541199°		 →
↑
84.42 m
↓
↑
84.42 m
↓
N 73.965009°
E 67.538452°		 ← 84.37 m →
7 122 m²		 N 73.965009°
E 67.541199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687610626220703 y=0.188045501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687610626220703 × 217)
    floor (0.687610626220703 × 131072)
    floor (90126.5)     		tx = 90126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188045501708984 × 217)
    floor (0.188045501708984 × 131072)
    floor (24647.5)     		ty = 24647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90126 / 24647 ti = "17/90126/24647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90126/24647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90126 ÷ 217
    90126 ÷ 131072     		x = 0.687606811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24647 ÷ 217
    24647 ÷ 131072     		y = 0.188041687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687606811523438 × 2 - 1) × π
    0.375213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17876836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188041687011719 × 2 - 1) × π
    0.623916625976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.96009188856448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17876836} λ = 1.17876836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96009188856448))-π/2
    2×atan(7.09997944210193)-π/2
    2×1.43087125633834-π/2
    2.86174251267667-1.57079632675     		φ = 1.29094619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17876836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.538452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29094619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.965768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90126 KachelY 24647 1.17876836 1.29094619 67.538452 73.965768
    Oben rechts KachelX + 1 90127 KachelY 24647 1.17881630 1.29094619 67.541199 73.965768
    Unten links KachelX 90126 KachelY + 1 24648 1.17876836 1.29093294 67.538452 73.965009
    Unten rechts KachelX + 1 90127 KachelY + 1 24648 1.17881630 1.29093294 67.541199 73.965009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29094619-1.29093294) × R
    1.32500000000757e-05 × 6371000     		dl = 84.4157500004823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29094619-1.29093294) × R
    1.32500000000757e-05 × 6371000     		dr = 84.4157500004823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17876836-1.17881630) × cos(1.29094619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276211618613052 × 6371000     		do = 84.362138011434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17876836-1.17881630) × cos(1.29093294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276224353121977 × 6371000     		du = 84.3660274582457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29094619)-sin(1.29093294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276211618613052-0.276224353121977)×R²
    abs(1.17881630-1.17876836)×1.27345089240838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27345089240838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27345089240838e-05×40589641000000     		ar = 7121.65731712612m²