Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90125 / 24735
↖ ↑ ↗
← N 73.898873°
E 67.535705°		 ← 84.70 m → N 73.898873°
E 67.538452°		 →
↑
84.73 m
↓
↑
84.73 m
↓
N 73.898111°
E 67.535705°		 ← 84.71 m →
7 178 m²		 N 73.898111°
E 67.538452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687602996826172 y=0.188716888427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687602996826172 × 217)
    floor (0.687602996826172 × 131072)
    floor (90125.5)     		tx = 90125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188716888427734 × 217)
    floor (0.188716888427734 × 131072)
    floor (24735.5)     		ty = 24735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90125 / 24735 ti = "17/90125/24735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90125/24735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90125 ÷ 217
    90125 ÷ 131072     		x = 0.687599182128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24735 ÷ 217
    24735 ÷ 131072     		y = 0.188713073730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687599182128906 × 2 - 1) × π
    0.375198364257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.17872042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188713073730469 × 2 - 1) × π
    0.622573852539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.95587344139791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17872042} λ = 1.17872042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95587344139791))-π/2
    2×atan(7.07009163832415)-π/2
    2×1.43028748179276-π/2
    2.86057496358553-1.57079632675     		φ = 1.28977864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17872042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.535705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28977864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.898873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90125 KachelY 24735 1.17872042 1.28977864 67.535705 73.898873
    Oben rechts KachelX + 1 90126 KachelY 24735 1.17876836 1.28977864 67.538452 73.898873
    Unten links KachelX 90125 KachelY + 1 24736 1.17872042 1.28976534 67.535705 73.898111
    Unten rechts KachelX + 1 90126 KachelY + 1 24736 1.17876836 1.28976534 67.538452 73.898111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28977864-1.28976534) × R
    1.32999999999939e-05 × 6371000     		dl = 84.734299999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28977864-1.28976534) × R
    1.32999999999939e-05 × 6371000     		dr = 84.734299999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17872042-1.17876836) × cos(1.28977864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.277333558715137 × 6371000     		do = 84.7048073973487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17872042-1.17876836) × cos(1.28976534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.277346336980781 × 6371000     		du = 84.7087102085888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28977864)-sin(1.28976534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277333558715137-0.277346336980781)×R²
    abs(1.17876836-1.17872042)×1.27782656434983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27782656434983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27782656434983e-05×40589641000000     		ar = 7177.56791247547m²