Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90124 / 24712
↖ ↑ ↗
← N 73.916383°
E 67.532959°		 ← 84.60 m → N 73.916383°
E 67.535705°		 →
↑
84.61 m
↓
↑
84.61 m
↓
N 73.915622°
E 67.532959°		 ← 84.60 m →
7 158 m²		 N 73.915622°
E 67.535705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687595367431641 y=0.188541412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687595367431641 × 217)
    floor (0.687595367431641 × 131072)
    floor (90124.5)     		tx = 90124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188541412353516 × 217)
    floor (0.188541412353516 × 131072)
    floor (24712.5)     		ty = 24712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90124 / 24712 ti = "17/90124/24712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90124/24712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90124 ÷ 217
    90124 ÷ 131072     		x = 0.687591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24712 ÷ 217
    24712 ÷ 131072     		y = 0.18853759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687591552734375 × 2 - 1) × π
    0.37518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17867249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18853759765625 × 2 - 1) × π
    0.6229248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.95697599008917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17867249} λ = 1.17867249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95697599008917))-π/2
    2×atan(7.07789105743666)-π/2
    2×1.43044028772025-π/2
    2.86088057544051-1.57079632675     		φ = 1.29008425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17867249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.532959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29008425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.916383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90124 KachelY 24712 1.17867249 1.29008425 67.532959 73.916383
    Oben rechts KachelX + 1 90125 KachelY 24712 1.17872042 1.29008425 67.535705 73.916383
    Unten links KachelX 90124 KachelY + 1 24713 1.17867249 1.29007097 67.532959 73.915622
    Unten rechts KachelX + 1 90125 KachelY + 1 24713 1.17872042 1.29007097 67.535705 73.915622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29008425-1.29007097) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dl = 84.6068800007353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29008425-1.29007097) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dr = 84.6068800007353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17867249-1.17872042) × cos(1.29008425) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.277039923718983 × 6371000     		do = 84.5974734979257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17867249-1.17872042) × cos(1.29007097) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.277052683894215 × 6371000     		du = 84.6013699709377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29008425)-sin(1.29007097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277039923718983-0.277052683894215)×R²
    abs(1.17872042-1.17867249)×1.27601752318851e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27601752318851e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27601752318851e-05×40589641000000     		ar = 7157.69312288161m²