Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90124 / 24636
↖ ↑ ↗
← N 73.974111°
E 67.532959°		 ← 84.30 m → N 73.974111°
E 67.535705°		 →
↑
84.35 m
↓
↑
84.35 m
↓
N 73.973353°
E 67.532959°		 ← 84.31 m →
7 111 m²		 N 73.973353°
E 67.535705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687595367431641 y=0.187961578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687595367431641 × 217)
    floor (0.687595367431641 × 131072)
    floor (90124.5)     		tx = 90124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187961578369141 × 217)
    floor (0.187961578369141 × 131072)
    floor (24636.5)     		ty = 24636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90124 / 24636 ti = "17/90124/24636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90124/24636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90124 ÷ 217
    90124 ÷ 131072     		x = 0.687591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24636 ÷ 217
    24636 ÷ 131072     		y = 0.187957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687591552734375 × 2 - 1) × π
    0.37518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17867249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187957763671875 × 2 - 1) × π
    0.62408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9606191944603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17867249} λ = 1.17867249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9606191944603))-π/2
    2×atan(7.10372429037547)-π/2
    2×1.43094406189642-π/2
    2.86188812379284-1.57079632675     		φ = 1.29109180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17867249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.532959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29109180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.974111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90124 KachelY 24636 1.17867249 1.29109180 67.532959 73.974111
    Oben rechts KachelX + 1 90125 KachelY 24636 1.17872042 1.29109180 67.535705 73.974111
    Unten links KachelX 90124 KachelY + 1 24637 1.17867249 1.29107856 67.532959 73.973353
    Unten rechts KachelX + 1 90125 KachelY + 1 24637 1.17872042 1.29107856 67.535705 73.973353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29109180-1.29107856) × R
    1.32399999999144e-05 × 6371000     		dl = 84.3520399994548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29109180-1.29107856) × R
    1.32399999999144e-05 × 6371000     		dr = 84.3520399994548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17867249-1.17872042) × cos(1.29109180) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276071670374072 × 6371000     		do = 84.301805690969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17867249-1.17872042) × cos(1.29107856) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276084395804443 × 6371000     		du = 84.3056915542199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29109180)-sin(1.29107856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276071670374072-0.276084395804443)×R²
    abs(1.17872042-1.17867249)×1.27254303713409e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27254303713409e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27254303713409e-05×40589641000000     		ar = 7111.19317606476m²