Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90123 / 24729
↖ ↑ ↗
← N 73.903442°
E 67.530212°		 ← 84.68 m → N 73.903442°
E 67.532959°		 →
↑
84.67 m
↓
↑
84.67 m
↓
N 73.902680°
E 67.530212°		 ← 84.69 m →
7 170 m²		 N 73.902680°
E 67.532959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687587738037109 y=0.188671112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687587738037109 × 217)
    floor (0.687587738037109 × 131072)
    floor (90123.5)     		tx = 90123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188671112060547 × 217)
    floor (0.188671112060547 × 131072)
    floor (24729.5)     		ty = 24729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90123 / 24729 ti = "17/90123/24729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90123/24729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90123 ÷ 217
    90123 ÷ 131072     		x = 0.687583923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24729 ÷ 217
    24729 ÷ 131072     		y = 0.188667297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687583923339844 × 2 - 1) × π
    0.375167846679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.17862455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188667297363281 × 2 - 1) × π
    0.622665405273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.95616106279563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17862455} λ = 1.17862455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95616106279563))-π/2
    2×atan(7.07212544043166)-π/2
    2×1.43032735981588-π/2
    2.86065471963176-1.57079632675     		φ = 1.28985839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17862455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.530212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28985839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.903442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90123 KachelY 24729 1.17862455 1.28985839 67.530212 73.903442
    Oben rechts KachelX + 1 90124 KachelY 24729 1.17867249 1.28985839 67.532959 73.903442
    Unten links KachelX 90123 KachelY + 1 24730 1.17862455 1.28984510 67.530212 73.902680
    Unten rechts KachelX + 1 90124 KachelY + 1 24730 1.17867249 1.28984510 67.532959 73.902680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28985839-1.28984510) × R
    1.32900000000546e-05 × 6371000     		dl = 84.6705900003482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28985839-1.28984510) × R
    1.32900000000546e-05 × 6371000     		dr = 84.6705900003482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17862455-1.17867249) × cos(1.28985839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.277256936130938 × 6371000     		do = 84.681404887869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17862455-1.17867249) × cos(1.28984510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.277269705082787 × 6371000     		du = 84.6853048544366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28985839)-sin(1.28984510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277256936130938-0.277269705082787)×R²
    abs(1.17867249-1.17862455)×1.27689518491514e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27689518491514e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27689518491514e-05×40589641000000     		ar = 7170.18962028046m²