Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90123 / 24635
↖ ↑ ↗
← N 73.974869°
E 67.530212°		 ← 84.32 m → N 73.974869°
E 67.532959°		 →
↑
84.29 m
↓
↑
84.29 m
↓
N 73.974111°
E 67.530212°		 ← 84.32 m →
7 107 m²		 N 73.974111°
E 67.532959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687587738037109 y=0.187953948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687587738037109 × 217)
    floor (0.687587738037109 × 131072)
    floor (90123.5)     		tx = 90123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187953948974609 × 217)
    floor (0.187953948974609 × 131072)
    floor (24635.5)     		ty = 24635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90123 / 24635 ti = "17/90123/24635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90123/24635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90123 ÷ 217
    90123 ÷ 131072     		x = 0.687583923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24635 ÷ 217
    24635 ÷ 131072     		y = 0.187950134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687583923339844 × 2 - 1) × π
    0.375167846679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.17862455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187950134277344 × 2 - 1) × π
    0.624099731445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.96066713135992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17862455} λ = 1.17862455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96066713135992))-π/2
    2×atan(7.10406482905582)-π/2
    2×1.43095067875403-π/2
    2.86190135750806-1.57079632675     		φ = 1.29110503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17862455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.530212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29110503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.974869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90123 KachelY 24635 1.17862455 1.29110503 67.530212 73.974869
    Oben rechts KachelX + 1 90124 KachelY 24635 1.17867249 1.29110503 67.532959 73.974869
    Unten links KachelX 90123 KachelY + 1 24636 1.17862455 1.29109180 67.530212 73.974111
    Unten rechts KachelX + 1 90124 KachelY + 1 24636 1.17867249 1.29109180 67.532959 73.974111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29110503-1.29109180) × R
    1.32299999999752e-05 × 6371000     		dl = 84.288329999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29110503-1.29109180) × R
    1.32299999999752e-05 × 6371000     		dr = 84.288329999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17862455-1.17867249) × cos(1.29110503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276058954506713 × 6371000     		do = 84.3155104637838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17862455-1.17867249) × cos(1.29109180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.276071670374072 × 6371000     		du = 84.3193942169817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29110503)-sin(1.29109180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276058954506713-0.276071670374072)×R²
    abs(1.17867249-1.17862455)×1.27158673589589e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27158673589589e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27158673589589e-05×40589641000000     		ar = 7106.97724768227m²