Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90120 / 24709
↖ ↑ ↗
← N 73.918665°
E 67.521973°		 ← 84.60 m → N 73.918665°
E 67.524719°		 →
↑
84.61 m
↓
↑
84.61 m
↓
N 73.917905°
E 67.521973°		 ← 84.61 m →
7 158 m²		 N 73.917905°
E 67.524719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687564849853516 y=0.188518524169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687564849853516 × 217)
    floor (0.687564849853516 × 131072)
    floor (90120.5)     		tx = 90120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188518524169922 × 217)
    floor (0.188518524169922 × 131072)
    floor (24709.5)     		ty = 24709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90120 / 24709 ti = "17/90120/24709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90120/24709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90120 ÷ 217
    90120 ÷ 131072     		x = 0.68756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24709 ÷ 217
    24709 ÷ 131072     		y = 0.188514709472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68756103515625 × 2 - 1) × π
    0.3751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17848074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188514709472656 × 2 - 1) × π
    0.622970581054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.95711980078803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17848074} λ = 1.17848074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95711980078803))-π/2
    2×atan(7.07890900709036)-π/2
    2×1.43046020699659-π/2
    2.86092041399318-1.57079632675     		φ = 1.29012409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17848074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.521973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29012409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.918665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90120 KachelY 24709 1.17848074 1.29012409 67.521973 73.918665
    Oben rechts KachelX + 1 90121 KachelY 24709 1.17852868 1.29012409 67.524719 73.918665
    Unten links KachelX 90120 KachelY + 1 24710 1.17848074 1.29011081 67.521973 73.917905
    Unten rechts KachelX + 1 90121 KachelY + 1 24710 1.17852868 1.29011081 67.524719 73.917905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29012409-1.29011081) × R
    1.32799999998934e-05 × 6371000     		dl = 84.6068799993207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29012409-1.29011081) × R
    1.32799999998934e-05 × 6371000     		dr = 84.6068799993207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17848074-1.17852868) × cos(1.29012409) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.277001642900147 × 6371000     		do = 84.6034317643296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17848074-1.17852868) × cos(1.29011081) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.277014403221947 × 6371000     		du = 84.607329095058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29012409)-sin(1.29011081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277001642900147-0.277014403221947)×R²
    abs(1.17852868-1.17848074)×1.27603217998651e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.27603217998651e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.27603217998651e-05×40589641000000     		ar = 7158.19726940618m²