Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90120 / 24705
↖ ↑ ↗
← N 73.921708°
E 67.521973°		 ← 84.59 m → N 73.921708°
E 67.524719°		 →
↑
84.61 m
↓
↑
84.61 m
↓
N 73.920947°
E 67.521973°		 ← 84.59 m →
7 157 m²		 N 73.920947°
E 67.524719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687564849853516 y=0.188488006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687564849853516 × 217)
    floor (0.687564849853516 × 131072)
    floor (90120.5)     		tx = 90120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188488006591797 × 217)
    floor (0.188488006591797 × 131072)
    floor (24705.5)     		ty = 24705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90120 / 24705 ti = "17/90120/24705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90120/24705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90120 ÷ 217
    90120 ÷ 131072     		x = 0.68756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24705 ÷ 217
    24705 ÷ 131072     		y = 0.188484191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68756103515625 × 2 - 1) × π
    0.3751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17848074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188484191894531 × 2 - 1) × π
    0.623031616210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.95731154838651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17848074} λ = 1.17848074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95731154838651))-π/2
    2×atan(7.08026650103627)-π/2
    2×1.43048676175038-π/2
    2.86097352350076-1.57079632675     		φ = 1.29017720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17848074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.521973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29017720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.921708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90120 KachelY 24705 1.17848074 1.29017720 67.521973 73.921708
    Oben rechts KachelX + 1 90121 KachelY 24705 1.17852868 1.29017720 67.524719 73.921708
    Unten links KachelX 90120 KachelY + 1 24706 1.17848074 1.29016392 67.521973 73.920947
    Unten rechts KachelX + 1 90121 KachelY + 1 24706 1.17852868 1.29016392 67.524719 73.920947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29017720-1.29016392) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dl = 84.6068800007353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29017720-1.29016392) × R
    1.32800000001154e-05 × 6371000     		dr = 84.6068800007353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17848074-1.17852868) × cos(1.29017720) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.276950610733296 × 6371000     		do = 84.5878452270051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17848074-1.17852868) × cos(1.29016392) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.276963371250452 × 6371000     		du = 84.5917426174003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29017720)-sin(1.29016392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276950610733296-0.276963371250452)×R²
    abs(1.17852868-1.17848074)×1.27605171560963e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.27605171560963e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.27605171560963e-05×40589641000000     		ar = 7156.87854382842m²