Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9012 / 26239
↖ ↑ ↗
← S 72.812828°
W 80.991211°		 ← 360.99 m → S 72.812828°
W 80.980225°		 →
↑
360.92 m
↓
↑
360.92 m
↓
S 72.816073°
W 80.991211°		 ← 360.92 m →
130 275 m²		 S 72.816073°
W 80.980225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275039672851562 y=0.800765991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275039672851562 × 215)
    floor (0.275039672851562 × 32768)
    floor (9012.5)     		tx = 9012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800765991210938 × 215)
    floor (0.800765991210938 × 32768)
    floor (26239.5)     		ty = 26239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9012 / 26239 ti = "15/9012/26239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9012/26239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9012 ÷ 215
    9012 ÷ 32768     		x = 0.2750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26239 ÷ 215
    26239 ÷ 32768     		y = 0.800750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41356330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800750732421875 × 2 - 1) × π
    -0.60150146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88967258302261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41356330} λ = -1.41356330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88967258302261))-π/2
    2×atan(0.151121280409863)-π/2
    2×0.149986373575662-π/2
    0.299972747151324-1.57079632675     		φ = -1.27082358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41356330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.991211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27082358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.812828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9012 KachelY 26239 -1.41356330 -1.27082358 -80.991211 -72.812828
    Oben rechts KachelX + 1 9013 KachelY 26239 -1.41337155 -1.27082358 -80.980225 -72.812828
    Unten links KachelX 9012 KachelY + 1 26240 -1.41356330 -1.27088023 -80.991211 -72.816073
    Unten rechts KachelX + 1 9013 KachelY + 1 26240 -1.41337155 -1.27088023 -80.980225 -72.816073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27082358--1.27088023) × R
    5.66499999998804e-05 × 6371000     		dl = 360.917149999238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27082358--1.27088023) × R
    5.66499999998804e-05 × 6371000     		dr = 360.917149999238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41356330--1.41337155) × cos(-1.27082358) × R
    0.000191750000000157 × 0.295494170570315 × 6371000     		do = 360.987276915187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41356330--1.41337155) × cos(-1.27088023) × R
    0.000191750000000157 × 0.29544004982785 × 6371000     		du = 360.921160891953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27082358)-sin(-1.27088023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295494170570315-0.29544004982785)×R²
    abs(-1.41337155--1.41356330)×5.41207424649692e-05×R²
    0.000191750000000157×5.41207424649692e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.41207424649692e-05×40589641000000     		ar = 130274.568001192m²